线性代数-基础篇笔记(第五、第六章)

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第五章

特征值和特征向量的概念和性质； 相似的概念和性质；可相似对角化的充分必要条件；什么是相似对角矩阵；什么是实对称矩阵；实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵。

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特征值和特征向量

Aa=λa，λ为特征值，a为特征向量

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求法，（λE-A）x = 0要有非零解，那么行列式| λE - A | = 0 ，求出λ，(λiE-A)x=0求处基础解系

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性质：
a，b，c，…是A关于λ的特征向量，那么k1a+k2b+k3c+…也是A关于λ的特征向量

λ1，λ2，λ3，…是A不同的特征值，A关于λi的特征向量是ai，那么ai间线性无关

∑λi = 迹之和
行列式A = λ1 × λ2 × …λn

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例题

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相似矩阵

相似定义

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性质
秩相同，特征值相同

A~B，k1A+k2E ~ k1B+k2E，Aⁿ ~Bⁿ

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可相似对角化

可相似对角化的充分条件

若A是实对称矩阵 => 可相似对角化，所以A是实对称矩阵是充分条件

可相似对角化的充分必要条件

A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数

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求相似对角矩阵步骤：

相似对角矩阵其实就是diag特征值

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实对称矩阵

aij = aji

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不同特征值对应的特征向量相互正交（可相似对角化中是线性无关的）

定理8其实就是相似对角阵的求法的hint

这个正交阵其实就是求特征值和特征向量，特征向量在施密特正交化

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重要例题：

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施密特正交化

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第六章

二次型及其矩阵表示；合同变换；合同矩阵；二次型的秩；惯性定理；二次型的标准形和规范形；正交变换和配方法化二次型为标准形；二次型及其矩阵的正定性

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什么是二次型其标准形

二次型总的来说是二次多项式，将这个多项式的系数写成矩阵就称为二次型的矩阵，根据乘法的交换性可以得出二次型对应矩阵一定是一个对称矩阵

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二次型的标准形和规范形

标准型：没有混合项
规范形：在标准形的基础上，系数只能是-1，0，1

二次型的秩

就是二次型对应矩阵的秩

合同

就4个点，什么是合同，正交变换(QTAQ,Q是正交阵)法，配方法，惯性定理

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定理1，对任意一个二次型，存在一个坐标变换x=Qy，其中Q是正交阵（两两向量互相正交），将二次型xTAx化成标准形yTBy（B是对角阵），其中标准形矩阵的元素是A的特征值，这也叫

正交变换法

定理2

配方法

惯性定理

二次型（合同）例题

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正定二次型

定义，f(x1,x2,…,xn)恒>0，其二次型称为正定二次型，对应的系数矩阵称为正定矩阵

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可逆线性变换不改变二次型的正定性

用到了惯性定理

正定的充分必要条件

正定的必要条件

正定二次型例题

就是用几个充要条件做题

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