二次型惯性定理
任何一个实二次型 f f f，都可以经过可逆变换化为唯一规范型
f = z 1 2 + z 2 2 + … z r 2 f=z_1^2+z_2^2 +\dots z_r^2 f=z12+z22+…zr2
其中 r r r是 f f f的秩
证明：
设可逆变换 X = C Y X=CY X=CY化为标准型
f = d 1 y 1 2 + … d p y p 2 − d p + 1 y p + 1 2 − … d r y r 2 f=d_1 y_1^2 +\dots d_p y_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2 -\dots d_{r} y_{r}^2 f=d1y12+…dpyp2−dp+1yp+12−…dryr2
其中 d i > 0 ( i = 1 , 2 , … , r ) d_i>0(i=1,2,\dots,r) di>0(i=1,2,…,r)
再做 y i = 1 d i z i ( i = 1 , 2 , … , r ) y_i=\frac{1}{\sqrt{d_i}} z_i(i=1,2,\dots,r) yi=di1zi(i=1,2,…,r),化为规范型
f = z 1 2 + z 2 2 + … z p 2 − z p + 1 2 − ⋯ − z r 2 f=z_1^2+z_2^2+\dots z_p^2 -z_{p+1}^2-\dots -z_r^2 f=z12+z22+…zp2−zp+12−⋯−zr2
现在证明唯一性
设有两个可逆变换 X = C 1 Y , X = C 2 Z X=C_1 Y,X=C_2 Z X=C1Y,X=C2Z
使得
f = y 1 2 + y 2 2 + … y p 2 − y p + 1 2 − ⋯ − y r 2 = z 1 2 + z 2 2 + … z q 2 − z q + 1 2 − ⋯ − z r 2 \begin{aligned} f&=y_1^2+y_2^2+\dots y_p^2 -y_{p+1}^2-\dots -y_r^2\\ &=z_1^2+z_2^2+\dots z_q^2 -z_{q+1}^2-\dots -z_r^2 \end{aligned} f=y12+y22+…yp2−yp+12−⋯−yr2=z12+z22+…zq2−zq+12−⋯−zr2
现在要证明 p = q p=q p=q
假设 q < p < r q
设 C 1 = ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ) , C 2 = ( η 1 , η 2 , ⋯ , η n ) C_1=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n),C_2=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) C1=(ξ1,ξ2,⋯,ξn),C2=(η1,η2,⋯,ηn)
考虑向量组
ξ 1 , … , ξ p , ξ r + 1 , … , ξ n , η q + 1 , … , η r \xi_1,\dots,\xi_p,\xi_{r+1},\dots,\xi_{n},\eta_{q+1},\dots ,\eta_{r} ξ1,…,ξp,ξr+1,…,ξn,ηq+1,…,ηr
个数 p + ( n − r ) + ( r − q ) = n + ( p − q ) > n p+(n-r)+(r-q)=n+(p-q)>n p+(n−r)+(r−q)=n+(p−q)>n
所以线性相关
存在不全为 0 0 0的数 y 1 , … , y p , y r + 1 , … , y n , z q + 1 , … , z r y_1,\dots,y_p,y_{r+1},\dots ,y_{n},z_{q+1},\dots,z_{r} y1,…,yp,yr+1,…,yn,zq+1,…,zr
使得
y 1 ξ 1 + ⋯ + y p ξ p + y r + 1 ξ r + 1 + ⋯ + y n ξ n + z q + 1 η q + 1 + ⋯ + z r η r = 0 y_1\xi_1+\dots +y_p\xi_p+y_{r+1} \xi_{r+1}+\dots +y_{n}\xi_{n}+z_{q+1}\eta_{q+1}+\dots +z_{r}\eta_{r}=0 y1ξ1+⋯+ypξp+yr+1ξr+1+⋯+ynξn+zq+1ηq+1+⋯+zrηr=0
于是
y 1 ξ 1 + ⋯ + y p ξ p + y r + 1 ξ r + 1 + ⋯ + y n ξ n = − ( z q + 1 η q + 1 + ⋯ + z r η r ) = X ≠ 0 \begin{aligned} &\quad y_1\xi_1+\dots +y_p\xi_p+y_{r+1} \xi_{r+1}+\dots +y_{n}\xi_{n}\\ &=-(z_{q+1}\eta_{q+1}+\dots +z_{r}\eta_{r})\\ &=X\neq 0 \end{aligned} y1ξ1+⋯+ypξp+yr+1ξr+1+⋯+ynξn=−(zq+1ηq+1+⋯+zrηr)=X=0
f ( X ) = y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y p 2 ≥ 0 f(X)=y_1^2+y_2^2+\dots +y_{p}^2\ge 0 f(X)=y12+y22+⋯+yp2≥0
f ( X ) = − z q + 1 2 ⋯ − z r 2 < 0 f(X)=-z_{q+1}^2\dots -z_{r}^2 < 0 f(X)=−zq+12⋯−zr2<0
矛盾
p < q pp<q
同理
所以 p = q p=q p=q