《数学建模算法与应用》学习笔记day3——非线性规划

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非线性规划

很多时候，问题不是简单的线性规划问题，而是更为复杂的非线性规划问题
当目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

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一、非线性规划模型

1.投资决策问题

例 某企业由n个项目可以投资，至少投资一个。设该企业的总资金为A，投资第i个项目需要花费$a_i$，并且预计收益分别为$b_i$。选择最佳的投资方案
解 投资决策变量为
$$x_i=\{\begin{array}{l}0，投资第i个项目\\ 1，不投资第i个项目\end{array}$$
则投资总额为$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$，投资总收益为$\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i$列出数学模型为
$$\begin{gathered} maxQ=\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i}, \\ s.t.\{\begin{array}{l}0<\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\le A\\ x_i(1-x_i)=0,i=1,2,...,n\end{array} \end{gathered}$$
该模型中的目标函数和约束条件都是非线性的，将上述模型概括成一般形式
$$\begin{gathered} minf(\mathbf{x}), \\ s.t.\{\begin{array}{l}{h}_j(\mathbf{x})\le 0,j=1,...,q\\ g_i(\mathbf{x})=0,i=1,...,p\end{array} \end{gathered}$$

2.非线性规划的matlab解法

matlab中非线性规划的数学模型写成一下形式：
$$\begin{gathered} minf(\mathbf{x}), \\ s.t.\{\begin{array}{l}\mathbf{A}\cdot \mathbf{x}\le \mathbf{b}\\ Aeq\cdot \mathbf{x}=beq\\ c(\mathbf{x})\le 0\\ ceq(\mathbf{x})=0\\ lb\le \mathbf{x}\le ub\end{array} \end{gathered}$$
引入matlab的求解命令

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

fun和nonlcon都是用m文件定义的函数，x0是x的初始值，具体函数的定义如下所展示

（1）fun1.m定义目标函数

function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;

（2）fun2.m定义约束条件，其中g表示不等约束条件，h表示等式约束条件

function[g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
	x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20];
h=[-x(1)-x(2)^2+x(3)^3
	x(2)+2*x(3)^2-3];

可直接使用

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')

二、二次规划

二次规划是一种特殊的非线性规划问题，目标函数是二次函数，而约束条件只是线性的，就称这种规划为二次规划

matlab中二次规划的数学模型

$$\begin{gathered} min\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^T\mathbf{H}\mathbf{x}+f^T\mathbf{x} \\ s.t.\{\begin{array}{l}\mathbf{A}\mathbf{x}\le \mathbf{b}\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb\le x\le ub\end{array} \end{gathered}$$
值得一提的是H是是对称矩阵，是而H前有$\frac{1}{2}$，所以数值需要乘2
matlab中的求解二次规划的命令是

[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

三、例题

第（1）问是线性规划的知识点
决策变量是$x_i(i=1,...,12)$，表示A,B料场到每个工地的运输水泥吨数
则目标函数为
$$min\sum _{i=1}^{12}{x}_i\sqrt{(a_i-a_{料场}{)}^2+(b_i-b_{料场}{)}^2}$$
约束条件为
$$s.t.\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^6{x}_i\le 20\\ \sum _{i=7}^{12}{x}_i\le 20\\ x_j+x_{j+6}=d_{j}j=1,2,...6\end{array}$$
第（2）问是二次规划
在第一问的基础上引入新决策变量$a_A,b_A,a_B,b_B$表示地是两个料场的位置
目标函数是一个非线性的函数需要在m文件中定义

function f=fun1(x);
a=[1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25];
b=[1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75];
d=[3,5,4,7,6,11];
f1=0;
for i=1:6
	s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
	f1=s(i)*x(i)+f1;
end
f2=0;
for i=7:12
	s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);
	f2=s(i)*x(i)+f2;
end
f=f1+f2;

约束条件为

x0=[3,5,4,7,1,0,0,0,0,0,5,11,5.6348,4.8687,7.2479,7.7499];
fm=inf;
A=[1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
   0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0];
b=[20;20];
Aeq=zeros(6,16);
for i=1:6
	Aeq(i,i)=1;
	Aeq(i,i+6)=1;
end
beq=[3,5,4,7,6,11];
vlb=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];

求解命令

[x,fval]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,[]);

值得注意的是，求解的结果是在初值给定的条件下计算得来的，我们将x0=x作为初值再次运算，就能得到一组更准确的答案，重复代入后，对比fval的值，选择出最优解