协作臂学习(9)-雅可比矩阵

雅可比矩阵

在机器人学中，雅可比矩阵最常用于表示关节速度与末端笛卡尔速度之间的关系，有公式：

末端速度

表示空间速度，刚体的空间速度包括

线（平移）速度

和

角（旋转）速度

部分（比如，地球在太空中绕太阳公转，同时绕南北极轴线自转）。

线速度向量包括

三个方向的分量

角速度向量包括

三个轴向的分量

将

代入

中，

关节速度

在DH建模法中，关节分为转动型（R型，revolute）、滑动杆 / 平移（P型，prismatic）。因此，

表示当前关节的位置：R型关节角度，P型关节位移。

表示当前关节的速度：R型关节角速度，P型关节线速度。

速度与微分

首先，回到初中物理公式：速度=距离/时间。在大学物理中，瞬时速度公式：

物体在某一时刻的瞬时速度

定义为位置矢量

随时间

的变化率，于是已知时间的情况下，

速度的问题变成了微分问题。

末端微分

对于机械臂，末端的微分运动

主要包括：沿

轴的微分平移

，绕

轴的微分旋转

，共6个量：

关节微分

对于机械臂，关节的微分运动与关节类型有关，DH建模法6R协作臂为例，关节微分为每个关节角的微分旋转，表示为

：

由于速度变成了微分，下面是雅可比矩阵把微分联系起来的公式：

微分运动

微分运动包括平移、旋转和组合变换（平移+旋转），平移表示为：

坐标系绕

轴旋转

度表示为：

绕一般轴的旋转是由绕

轴的三个旋转构成的：

所以由1.10式和1.11式，有

坐标系的微分变换

设原坐标系为

，坐标系的微分变化为

，把平移和旋转合并一起来表示坐标系的微分变换，左乘原坐标系就得到微分变化之后的结果。由式1.9和110有：

1.13式右边的变换可用

表示，由式.9和11.12，可计算出

为：

式1.14表示相对于固定参考坐标系的微分变换。在DH建模法中，都是通过前一个关节的坐标系求下一个关节坐标系，因此，还需要找出相对于当前坐标系的微分变换。

坐标系的相对微分变换

设

为相对自身变换的算子，相对自身的变换通过右乘

获得：

由式1.15可推出：

由式1.16可以看出，坐标系相对自身变换的算子，可以通过坐标系自身

、相对固定坐标系的微分变换

来表示。设T为n、o、a轴和p表示的坐标系。有：

将式1.17代入1.16中，可以算出

定义

为：

于是由1.18和1.19可推出：

旋转关节

在DH建模中，对于旋转关节进一步简化式1.20有：

移动关节

在DH建模中，对于移动关节进一步简化式1.20有：

雅可比矩阵计算

到这里，雅各比矩阵基本上就已经出来了。对于协作臂从关节0坐标系开始，一直到关节6，相对自身进行微分变换，将所有的微分变换加起来，就是末端最终的微分变换：

对于式1.23中的每一列，可根据关节类型用1.21或1.22来求解。有：

而1.24中对应使用的坐标系就是每个关节依次相对自身变换得到的坐标系，第

列用

进行计算。用下图表示末端与各关节的坐标变换关系，

可用公式表示。

总结

雅可比矩阵用于将关节速度与末端速度联系起来，雅可比矩阵中的每个元素是对应运动学方程对其中一个变量的导数。雅可比矩阵的行是协作臂的自由度，列是关节数。