数据结构·图的知识点总结

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一、有关图的思维导图

二、图的相关知识点

1.图的基本概念

图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

图的相关概念和术语

无向边

若顶点vi到vj之间没有方向,则称这条边为无向边，有无序偶对(vi,vj)来表示。

无向图

如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图

有向边

若从顶点vi到vj的边有方向为有向边，也称为弧,用 有序偶< vi, vj> 来表示，vi称为弧尾，vj称为弧头。

有向图

如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

简单图

在图中,如果不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

无向完全图

在无向图，如果任意两个顶点之间都有存在边，则称该图为无向完全图。

有向完全图

在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在互为相反的弧，则称该图为有向完全图

稀疏图&稠密图

有很少的边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图
权:有些图的边或者弧具有与他相关的数字，这个相关的数称为权

网

这种边带权值的图叫网

2.图的存储结构和基本运算算法

图的存储结构

邻接矩阵

邻接矩阵用两个数组保存数据。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组存储图中边或弧的信息。

邻接矩阵的表示

其他存储结构

邻接表 十字链表 邻接多重表

图的算法实现

图的结构体创建

typedef struct {
	VexType vexs[MAXVEXNUM];//点的集合
	ArcCell arcs[MAXVEXNUM][MAXVEXNUM];//边的集合
	int vexNum, arcNum;
}MyGraph;

图的创建

void CreateDGraphFromConsole(MyGraph &G, int vexNum, int arcNum){
G.vexNum=vexNum;
G.arcNum=arcNum;
for(int i=0;i<G.vexNum;i++){
	cin>>G.vexs[i];
}
for(int i=0;i<G.vexNum;i++){
	for(int j=0;j<G.vexNum;j++){
		G.arcs[i][j]=0;
	}
}
}

图的删除

void DispGraph(MyGraph& G){
	for(int i=0;i<G.vexNum;i++){
		cout<<G.vexs[i];
		for(int j=0;j<G.vexNum;j++){
		cout<<" "<<G.arcs[i][j];
	}
		cout<<endl;
	}
}

3.图的遍历

1.BFS算法

BFS，即图的广度优先搜索遍历，它类似于图的层次遍历，它的基本思想是：首先访问起始顶点v，然后选取v的所有邻接点进行访问，再依次对v的邻接点相邻接的所有点进行访问，以此类推，直到所有顶点都被访问过为止。

BFS算法图例

2.DFS算法

深度优先搜索（Depth First Search）一种用于遍历或搜索树或图的算法。 沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过或者在搜寻时结点不满足条件，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。属于盲目搜索,最糟糕的情况算法时间复杂度为O(!n)。

DFS算法图例

三、生成树和最小生成树

生成树的概念

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有构成一棵树的(n-1)条边。如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一个环。一棵有n个顶点的生成树(连通无回路图)有且仅有(n-1)条边，如果一个图有n个顶点和小于(n-1)条边，则是非连通图。如果它多于(n-1)条边，则一定有回路。但是，有(n-1)条边的图不一定都是生成树。

最小生成树

图的所有生成树中具有边上的权值之和最小的树。按照生成树的定义，n个顶点的连通图的生成树有n个顶点、n-1条边。

构造最小生成树的准则

（1）必须只使用该图中的边来构造最小生成树；
（2）必须使用且仅使用n-1条边来连接图中的n个顶点；
（3）不能使用产生回路的边。

普里姆（Prim）算法

普里姆（Prim）算法的定义

以一个顶点U={u0}为初态，不断寻找与U中顶点相邻且代价最小的边的另一个顶点，扩充U集合直到U=V时为止。生成过程可以如图所示，a是原图，之后是生成过程。

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的定义

克鲁斯卡尔求最小生成树的思想是假设初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T={V,{}}，图中每个顶点自成一个分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边，直到T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

四、图的最短路径问题

最短路径的问题阐述

最短路径问题：如果从有向图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。

单源最短路径问题

给定一个带权有向图 D 与源点 v ，求从v 到 D 中其它顶点的最短路径。限定各边上的权值大于0。

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从顶点 v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。

所有顶点之间的最短路径

已知一个各边权值均大于0的带权有向图，对每一对顶点 vi≠vj，要求求出vi与vj之间的最短路径和最短路径长度。

弗洛伊德算法

弗洛伊德算法仍从图的带权邻接矩阵Edge[i][j]出发，其基本思想是：假设求顶点vi到vj的最短路径。如果从vi到vj有弧（无向图称为边），则从vi到vj存在一条长度为Edge[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，尚需n次试探。首先考虑路径（vi ，v0 ，vj）是否存在（即判别弧(vi ，v0 )和弧(v0 ，vj)是否存在）。如果存在,则比较(vi ，vj)和(vi ，v0 ，vj)的路径长度取长度较短者为从vi到vj的中间定点序号不大于0的最短路径。假如在路径上再增加一个顶点v1，也就是说，如果（vi ，…，v1）和（v1，…，vj）分别是当前找到的中间顶点的序号不大于0的最短路径,那么（vi ，…，v1，…，vj）就有可能是从vi到vj的中间顶点的序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从vi到vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出中间顶点的序号不大于1的最短路径之后，再增加一个顶点v2，继续进行试探。依次类推，若vi ，…，vk）和（vk，…，vj）分别是从vi到vk和从vk到vj中间顶点的序号不大于k-1的最短路径,则将（vi ，…，vk，…，vj）和已经找到的从vi到vj且中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度较短者是从vi到vj的中间顶点序号不大于k的最短路径。这样，经过n次比较后，最后求得的必是从vi到vj的最短路径。按此方法，可以同时求得各对顶点间的最短路径。

五、AOE网与关键路径

AOE的概念

AOE网是一个带权的有向无环图。其中用顶点表示事件，弧表示活动，权值表示两个活动持续的时间。AOE网是以边表示活动的网。
  AOV网描述了活动之间的优先关系，可以认为是一个定性的研究，但是有时还需要定量地研究工程的进度，如整个工程的最短完成时间、各个子工程影响整个工程的程度、每个子工程的最短完成时间和最长完成时间。在AOE网中，通过研究事件和活动之间的关系，可以确定整个工程的最短完成时间，明确活动之间的相互影响，确保整个工程的顺利进行。
  在用AOE网表示一个工程计划时，用顶点表示各个事件，弧表示子工程的活动，权值表示子工程的活动需要的时间。在顶点表示事件发生之后，从该顶点出发的有向弧所表示的活动才能开始。在进入某个顶点的有向弧所表示的活动完成之后，该顶点表示的事件才能发生。
  对一个工程来说，只有一个开始状态和一个结束状态。因此在AOE网中，只有一个入度为零的点表示工程的开始，称为源点；只有一个出度为零的点表示工程的结束，称为汇点。

关键路径的概念

关键路径是指在AOE网中从源点到汇点路径最长的路径。这里的路径长度是指路径上各个活动持续时间之和。在AOE网中，有些活动是可以并行执行的，关键路径其实就是完成工程的最短时间所经过的路径。关键路径上的活动称为关键活动。

事件的最早发生时间&事件的最晚发生时间

求AOE网的关键路径的步骤：

1. 对AOE网中的顶点进行拓扑排序，如果得到的拓扑序列顶点个数小于网中顶点数，则说明网中有环存在，不能求关键路径，终止算法。否则，从源点v0开始，求出各个顶点的最早发生时间ve(i)。
2. 从汇点vn出发vl(n-1)=ve(n-1)，按照逆拓扑序列求其他顶点的最晚发生时间vl(i)。
3. 由各顶点的最早发生时间ve(i)和最晚发生时间vl(i)，求出每个活动ai的最早开始时间e(i)和最晚开始时间l(i)。
4. 找出所有满足条件e(i)=l(i)的活动ai，ai即是关键活动。

六、疑难问题及解决方案

公路村村通的问题

问题阐述

现有村落间道路的统计数据表中，列出了有可能建设成标准公路的若干条道路的成本，求使每个村落都有公路连通所需要的最低成本。

情景分析

先看输入和输出，输入是顶点和边的个数，进而是输入 两条路 并且是费用，然后输出的是最小费用。看起来就是把图选边，然后将其变成连通图。Prim算法和Kruskal算法都行，我选用Prim算法，因为最后只是把最小费用输出出来，题目就没有那么复杂了，配上姥姥给的Prim代码，直接凑一凑，就出来。记住这是无向边带权图，一定要在代码中体现出来，

代码展示（有难度）

#include 
#define MAX 0x3f3f3f
using namespace std;
int Graph[10010][10010];
int M, N, minpri[10010];
int FindNextPt()
{
    int nextpt = 0, min_ = MAX;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        if(minpri[i] != 0 && minpri[i] < min_)
        {
            min_ = minpri[i];
            nextpt = i;
        }
    }
    return nextpt;
 
}
int prim()
{
    int nextpt, cnt = 1, sum = 0;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
      minpri[i] = Graph[1][i];
    minpri[1] = 0;
    for(int i = 1; i < N; ++i)
    {
        nextpt = FindNextPt();
        if(nextpt == 0) break;
        sum += minpri[nextpt];
        minpri[nextpt] = 0;
        for(int j = 1; j <= N; ++j)
            if(minpri[j] > Graph[nextpt][j])
              minpri[j] = Graph[nextpt][j];
        ++cnt;
    }
 
    if(cnt != N)
        return -1;
    else
        return sum;
 
}
int main()
{
   int pos1, pos2, val, minpri;
   scanf("%d %d", &N, &M);
   for(int i = 1; i <= N; ++i)
    for(int j = 1; j <= N; ++j)
      Graph[i][j] = MAX;
   for(int i = 1; i <= M; ++i)
   {
      scanf("%d %d %d", &pos1, &pos2, &val);
      Graph[pos1][pos2] =  Graph[pos2][pos1] = val;
   }
   minpri = prim();
   printf("%d\n", minpri);
}