最全PR曲线、ROC曲线以及AUC计算公式详解

PR曲线

混淆矩阵

预测 \真实	P	N
P	TP	FP
N	FN	TN

查准率和查全率

查准率，表示所有被预测为正类的样本（TP+FP）是真正类（TP）的比例：
$$P=\frac{TP}{TP+FP}$$
查全率，表示所有真正类的样本（TP+FN）中被预测为真正类（TP）的比例：
$$R=\frac{TP}{TP+FN}$$

PR曲线绘制

PR曲线的横坐标为召回率R，纵坐标为查准率P

1. 将预测结果按照预测为正类概率值排序
2. 将阈值由1开始逐渐降低，按此顺序逐个把样本作为正例进行预测，每次可以计算出当前的P，R值
3. 以P为纵坐标，R为横坐标绘制图像

如何利用PR曲线对比性能：

1. 如果一条曲线完全“包住”另一条曲线，则前者性能优于另一条曲线。
2. PR曲线发生了交叉时：以PR曲线下的面积作为衡量指标，但这个指标通常难以计算
3. 使用 “平衡点”（Break-Even Point），他是查准率=查全率时的取值，值越大代表效果越优
4. BEP过于简化，更常用的是F1度量：
   $$F1=\frac{2\ast P\ast R}{P+R}=\frac{2\ast TP}{样本总数+TP-TN}$$

ROC曲线

AUC就是衡量学习器优劣的一种性能指标。从定义可知，AUC可通过对ROC曲线下各部分的面积求和而得。

TPR和FPR

真阳性率：$$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$$
假阳性率：$$FPR=\frac{FP}{FP+TN}$$

ROC曲线绘制

ROC曲线的横坐标为FPR，纵坐标为TPR

1. 将预测结果按照预测为正类概率值排序
2. 将阈值由1开始逐渐降低，按此顺序逐个把样本作为正例进行预测，每次可以计算出当前的FPR，TPR值
3. 以TPR为纵坐标，FPR为横坐标绘制图像

如何利用ROC曲线对比性能：
ROC曲线下的面积（AUC）作为衡量指标，面积越大，性能越好

AUC的计算

AUC就是衡量学习器优劣的一种性能指标。从定义可知，AUC可通过对ROC曲线下各部分的面积求和而得。 AUC的统计意义是从所有正样本随机抽取一个正样本，从所有负样本随机抽取一个负样本，对应的预测probability中该正样本排在负样本前面的概率。
计算原理：所有的样本对中被正确排序的样本对（正类排在负类前面）的比例。

1. 设正样本M个，负样本N个，样本总量n。
2. 计算预测结果中每个样本的rank值，及升序排列后的位置，probability最大的样本rank为n。
3. 当一个正样本在正类预测结果的升序排列中排在第k位，则证明它与排在其后面的负样本构成了正确排序对，则所有正确排序的样本对的总和为：
   举个例子：
   例如 $(ran{k}_0-1)$表示rank最小的正例可以和$ran{k}_0-1$个负样本构成正确样本对。
   $$\begin{gathered} CorrectPair=(ran{k}_0-1)+(ran{k}_1-2)+... \\ +(ran{k}_i-(i+1))+..+(ran{k}_{M-1}-M) \\ =\sum _{i\in 正样本集合}ran{k}_i-\sum (M+(M-1)+...+1) \\ =\sum _{i\in 正样本集合}ran{k}_i-\frac{M\ast (M+1)}{2} \end{gathered}$$

则AUC计算公式为：
$$AUC=\frac{CorrectPair}{M\ast N}$$

python 代码实现及注解

def cacu_auc(label, prob):
    '''
    :param label: 样本的真实标签
    :param prob: 分类模型的预测概率值，表示该样本为正类的概率
    :return: 分类结果的AUC
    '''
    # 将label 和 prob组合，这样使用一个key排序时另一个也会跟着移动
    temp = list(zip(label, prob))
    # 将temp根据prob的概率大小进行升序排序
    rank = [val1 for val1, val2 in sorted(temp, key=lambda x: x[1])]
    # 将排序后的正样本的rank值记录下来
    rank_list = [i+1 for i in range(len(rank)) if rank[i]==1]
    # 计算正样本个数m
    M = sum(label)
    # 计算负样本个数N
    N=len(label)-M
    return (sum(rank_list)-M*(M+1)/2)/(M*N)

类别不平衡问题

这里特指负样本数量远大于正样本时，在这类问题中，我们往往更关注正样本是否被正确分类，即TP的值。PR曲线更适合度量类别不平衡问题中：

1. 因为在PR曲线中TPR和FPR的计算都会关注TP，PR曲线对正样本更敏感。
2. 而ROC曲线正样本和负样本一视同仁，在类别不平衡时ROC曲线往往会给出一个乐观的结果。

参考
[1]: https://blog.csdn.net/ft_sunshine/article/details/108833761
[2]: 《机器学习》周志华