对于二分题，其实就是设定一个中间值 mid, 然后通过这个值进行一个判断 check(mid)， 通过这个函数的返回值，判断将不可能的一半剪切掉；
在刷题的时候需要注意主要是两部分，check 函数的定义以及边界的选择（等号的选择，以及最后是 return left 还是 right）
这次主要是 LC 的二分专题，里面的简单题基本都是比较显性的提示了 check 函数的构建，比方说直接找出某个值，而难题一般都是 check 函数比较难想的，这个时候就需要经验了；
广义上只要是排好序（局部排序），只要是找某个值，大部分都可以考虑用二分，这样复杂度可以降低很多；
对于边界，我的循环结束条件是 left <= right ， 因为如果要多记很多模板，怕会出问题，所以退出条件基本都按这个，然后无论是那种模块，都基于这个结束条件来判断，这样可以把问题收缩都循环里的判定的 check 函数，多做了就会发现端倪；
然后关于退出之后 left 还是 right ，这个是具体问题具体分析；由于我的结束判定条件是 left<=right ，所以如果没用中间返回，那么必然存在 left === right 的时候，这个时候根据判定条件，就知道 right 在 left 的前面，而到底是左逼近，还是右逼近，都比较好判断了，因为这个时候已经退出去了，left 和 right 所代表的 check 的状态也是显而易见的，那么看题目要求什么，给什么即可；
对于二分，我觉得这个专题就基本足够了，简单居多，难题也有两个；如果是第一次学习二分，那么按照专栏的三个模板去记忆也 ok， 别人的经验终归是适合别人自己，做题最重要是把握住自己的节奏，记忆自己最熟悉的那个点，强行模仿别人反而落了下乘；
当然那个男人那么强，我的做题就是模仿的他，慢慢大佬的解法就是我自己的节奏了，毕竟模仿多了，其实就是自己的了，除了算法，其他的工程化学习也是一样的；
那么，周末快乐，下周开 dp 吧，毕竟这个听有意思的。
模板 1
- 目标值是一个固定的 target，在二分过程中需要不断的判断，如果成功就返回对应的值，否则直接返回失败的值
- 返回值如果是向下取，返回 right，如果向上取，则返回 left，还有可能返回一个特定给的失败值；
var search = function (fn, target) {
let left = 最小值,
right = 最大值;
while (left <= right) {
// 取 mid 值
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
//这里的 fn 可能是函数，也可能只是数组取值，反正就是可以取得一个值去跟 target 比较
const temp = fn(mid);
if (temp === target) return mid;
if (temp < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return 没有精确匹配后的值;
};
704. 二分查找
var search = function (nums, target) {
const len = nums.length;
if (!len) return -1;
let left = 0,
right = len - 1;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (nums[mid] === target) return mid;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return -1;
};
69. x 的平方根
// 69. x 的平方根
var mySqrt = function (x) {
let left = 0,
right = x;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
const sqrt = mid * mid;
if (sqrt === x) return mid;
if (sqrt < x) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
// 向下取整
return right;
};
374. 猜数字大小
分析
- 这里内置一个函数 guess(n), 返回值是 -1 0 1, -1 是 targt 值更小
var guessNumber = function (n) {
let left = 1,
right = n;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (guess(mid) === 0) return mid;
if (guess(mid) > 0) {
// 这个时候 mid < pick
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
};
// 自己模拟一下这个 guess 函数吧 -- 假定第二个参数就是目标猜的数字，我们可以用它来初始化，默认是5
function guess(num, pick = 5) {
if (num === pick) return 0;
if (pick < num) return -1;
if (pick > num) return 1;
}
441. 排列硬币
分析
- 这里求的是一个左侧极值的二分法，是向右逼近的二分
- 累计值算法是小学数学题 sum = (first+end)*count/2
- 每次取中间层数，求出到这个层数需要的币数 sum，然后和目标值 n 比较
- 如果刚好符合，直接返回（这里可以收缩到左侧判定条件中）；如果 count 比较少，则 left 要提到 mid+1,否则 right 要提到 mid-1
- 由于最后要返回的是最逼近 n 的层数，所以判断一下当 left === right 情况，如果小于 n，则 left = mid+1，这个时候 right 符合要求，所以跳出循环后，返回的是 right
- 时间复杂度O(logN)
var arrangeCoins = function (n) {
let left = 0,
right = n;
while (left <= right) {
const mid = left + ((right - left) >> 1);
// mid 层的时候满的硬币数
const sum = ((1 + mid) * mid) / 2;
if (sum === n) return mid;
if (sum < n) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return right;
};
33. 搜索旋转排序数组
分析
- 已知：原始数组 nums 是生序排序的，且数组中的值不一样的
- 入参的 nums 是在某个下标 k 的作用下发生了重置，使得 nums 现在是先升序数组 [k,len-1]然后断裂后，再一个升序数组[0,k-1]
- 这是一个局部排好序的数组，所以可以用二分处理,返回的是 target 值的下标或者 -1
- 所以每次都用排好序的一半来作为判断依据，如果在排好序这边，则删除另外，反之亦然
- 时间复杂度 O(logn)
参考视频：传送门
var search = function (nums, target) {
let left = 0,
right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (nums[mid] === target) return mid;
if (nums[mid] >= nums[left]) {
// [left,mid] 是有序的
if (nums[left] <= target && target < nums[mid]) {
// target 在[left , mid) 中
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
} else {
// [mid,right] 是有序的
if (nums[mid] < target && target <= nums[right]) {
// target 在（mid , right] 中
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
}
return -1;
};
模板 2 -- 需要用到邻居值判断
相比于模板 1，模板 2 中不是仅有一个符合条件值，而是一系列值，我们需要找到符合要求的那个 极值，比方说是符合条件的最大值/第一个值 等；
var search = function (fn) {
let left = 最小值,
right = 最大值;
while (left <= right) {
// 取 mid 值
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
//这里的 fn 可能是函数，也可能只是数组取值，反正就是可以取得一个值去跟 target 比较
const bool = fn(mid);
if (bool) {
// 成功了，要向还没成功的地方寻找
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return 特定的值;
};
278. 第一个错误的版本
分析
- 这里要找出的是第一个错误版本，而整理版本排列是
正常 -> 错误，所以这里是根据错误向左逼近 - 如果是错误版本， right 指针不断往左，如果是正常版本，left 指针不断往右，当左右指针相交时，如果是错误版本，right 继续往左，到达正常区，这个时候 left 就是第一个错误版本了
- 时间复杂度 O(logn)
var solution = function (isBadVersion) {
return function (n) {
let left = 1,
right = n;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (isBadVersion(mid)) {
// 如果是错误版本
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return left;
};
};
162. 寻找峰值
分析
- 已知多峰的时候只需返回一个即可，那么就是直接做二分判断即可；
- 两侧边缘值也可以是峰值,因为题目给了两侧是 -Infinity；
- 犹豫已经存在整体区域外的最低点，所以只要找到一个局部下降区域，那么局部上升区域中肯定存在峰值；
var findPeakElement = function (nums) {
nums[-1] = nums[nums.length] = -Infinity; // 设置边界值，这样保证在边缘的时候也只需要两个值就能判极值
let left = 0,
right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
// 找出一个有峰值的区间
if (nums[mid] > nums[mid + 1]) {
// [mid,right] 局部下降，而[-1,mid] 是局部上升的，比较有一个最低值
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return left;
};
153. 寻找旋转排序数组中的最小值
分析
- 这里其实就是找谷值，注意的是，这里的值互不相等且局部单增 ，所以可以加一个辅助条件 nums[-1] = nums[len] = infinite,这样能保证谷值在边缘也能直接找到
- 注意：这里返回的是最小值，而不是最小坐标
- 注意取得 mid 值之后，将 mid 与 right 的值比较，只会出现两种情况，
- 如果 nums[mid]<=nums[right] ，则 mid 和 right 重合或 mid 在 right 之后且单增，这个时候无论是在第一个单增区间还是第二个，谷点都在 mid 之钱，所以 right = mid-1
var findMin = function (nums) {
let len = nums.length;
nums[-1] = nums[len] = Infinity;
let left = 0,
right = len - 1;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (nums[mid - 1] > nums[mid] && nums[mid] < nums[mid + 1])
return nums[mid]; //谷值
if(nums[mid]<=nums[right]){
// [mid,right] 单增
// 注意这个等号为啥要加，可以考虑一下如果 left 和 right 相等时，对应的 mid 也是这个点，那么是让 right 走，还是让 left 走；这里我们最后返回值是 left,所以让 right 走一步结束战斗
right = mid-1
}else{
left = mid+1
}
}
return nums[left];
};
154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II
- 和 153. 寻找旋转排序数组中的最小值 类似，但是由于值可以重复，无法直接判断单增区间
- 所以想办法将右侧与 mid 相等的值先删除掉，这个时候剩下的不同值可以与 153 题一样做处理了
var findMin = function(nums) {
const len = nums.length
nums[-1] = nums[len] = Infinity
let left = 0,right = len-1
while(left<=right){
const mid = ((right-left)>>1) + left
// 将右侧与 mid 同值的值删掉
while(nums[right] === nums[mid] && right>mid){
right --
}
// 由于存在重复值，所以拐点值右侧可以是直线，而不一定是单增
if(nums[mid-1]>nums[mid] && nums[mid]<=nums[mid+1]) return nums[mid]
if(nums[mid]<=nums[right]){
// 上一题这里的等号是当 left 和 right 重合时的特殊情况
// 现在由于值可能重复，所以不能直接判断出 [mid,right] 是递增的区间了，所以要先为右侧相同的值进行删减，然后再进行即可
right = mid-1
}else{
left = mid+1
}
}
return nums[left]
};
模板3
在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
分析
- 正常查找 target 值，直到找到左侧第一个，
- 如果没有找到，则直接返回 [-1,-1]
- 如果找到了左侧的 target 值，这个时候以左侧 left 为起点，再进行一次二分，求右侧第一个 target 值，最后返回即可
- 时间复杂度 O(logn)
var searchRange = function(nums, target) {
if(!nums) return [-1,-1]
let left = 0,right = nums.length-1
let ret = []
// 找左节点
while(left<=right){
const mid = ((right-left)>>1) + left
if(nums[mid]>1) + l
if(nums[mid]>target){
r = mid-1
}else{
l = mid+1
}
}
return [left,r]
};
658. 找到 K 个最接近的元素
分析
- 先找出 arr 中值最靠近 x 左侧的下标值 -- 如果有等于 x 的就取 x 没有就取最靠近的前一个
- 然后开始向两边扩散找接近 x 的前 k 个值
- 时间复杂度 O(log(n))
var findClosestElements = function (arr, k, x) {
let l = 0,
r = arr.length - 1;
while (l <= r) {
const mid = ((r - l) >> 1) + l;
if (arr[mid] > x) {
r = mid - 1;
} else {
l = mid + 1;
}
}
// 这个时候 r 是左侧最靠近 x 的值下标，l 是右侧最靠近 x 的值
let lIndex = r,
rIndex = l; // 防止混淆
let ret = [];
while (k--) {
let isLeft = true;
if (lIndex >= 0 && rIndex < arr.length) {
isLeft = x - arr[lIndex] <= arr[rIndex] - x;
} else if (rIndex < arr.length) {
isLeft = false;
}
if (isLeft) {
ret.unshift(arr[lIndex]);
lIndex--;
} else {
ret.push(arr[rIndex]);
rIndex++;
}
}
return ret;
};
其他练习题
50. Pow(x, n)
分析
- 直接将 n 进行拆分，然后递归求值 -- 然后超时了，因为很多值都是重复的，
- 然后就是快速迭代我们 2 - 4 -16
- 值得注意的是，这里 n 的取值是 [-2^31,2^31-1] 本来没啥事，但是吧，你将 n 转成正数再执行, 那么 n >> 1 就有事了，一旦 n 是 -2^31,那么第一次递归的时候 recursion 的 n 就是负数了
- 所以要用 >>> 或者用数学的方法
- 时间复杂度 O(logn)
var myPow = function (x, n) {
const recursion = (n) => {
if (n === 0) return 1;
// const y = recursion(n >> 1);
const y = recursion(Math.floor(n / 2));
return n % 2 ? y * y * x : y * y;
};
return n < 0 ? 1 / recursion(-n) : recursion(n);
};
console.log(myPow(2.1, 3));
console.log(myPow(2, -2));
367. 有效的完全平方数
/** * @分析 * 1. 概念：若 x*x = y ， 则 y 是完全平方数 */
var isPerfectSquare = function (num) {
let left = 0,
right = num;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
const temp = mid * mid;
if (temp === num) return true;
if (temp > num) {
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return false;
};
744. 寻找比目标字母大的最小字母
分析:
- 注意： 这道题应该改成，给定一个排好序的字符数组，找出处 target 所在位置的下一个字母，且该数组首尾衔接 -- 即如果给定的 target 在数组最后，则下一个就是首字母；
- 字母先转成 UniCode 编码，然后用 编码大小来进行比较，注意这里只有小写字母，所以 left right 值也是有了
- 这是个奇葩的设定，['a','c'],'z' , 如果按照真正 charCode 比较，数组中没有比 'z' 大的，这里这能说是顺序遍历数组后，在 target 之后的第一个元素
- 时间复杂度: O(logN)
var nextGreatestLetter = function(letters, target) {
const targetIndex = target.charCodeAt()
let left = 0,right = numbers.length-1
while(left <= right){
const mid = ((right-left) >> 1) + left
if(letters[mid].charCodeAt()>targetIndex){
// 只要是符合的，都返回往左走，知道走不了
right = mid-1
}else{
left= mid+1
}
}
if(left>=numbers.length) return letters[0]
return letters[left]
};
349. 两个数组的交集
分析：
- 先为 nums1 和 nums2 排序，然后遍历其中一个数组，另外一个数组做二分查找，最后得到结果
- 这里直接取nums1 做遍历，实际可以找个长度少的遍历，长度大的做二分，这样查找过程的时间复杂度即为 O(nlogm), 其中 n<=m
- 但是由于做了排序，实际的时间复杂度是 mlogm m 是大的那个长度
var intersection = function (nums1, nums2) {
const l1 = nums1.length,
l2 = nums2.length;
if (!l1 || !l2) return [];
// 先排序
nums1.sort((a, b) => a - b);
nums2.sort((a, b) => a - b);
const ret = [];
for (let i = 0;i0 && nums1[i-1] === nums1[i]) continue // 重复值跳过
const n = nums1[i];
let left = 0,
right = l2-1;
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (nums2[mid] === n) {
ret.push(n);
break;
}
if (nums2[mid] > n) {
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
}
return ret
};
350. 两个数组的交集 II
- 直接用 map 将其中一个数组的值映射保存起来
- 然后遍历另外的数组，每一次匹配成功，则map 的值减一，ret 数组 push 上这个值
- 直到 map 中的这个值为 0，则这个值在两个数组中的最大公约数达到，不再进行 push 咯
- 时间复杂度 O(n+m) , 空间复杂度 O(n) 其中 n 可以是小的那个数组的不同值长度
var intersect = function (nums1, nums2) {
const map = new Map(); //将长数组的值存储一份
for (let item of nums2) {
if (map.has(item)) {
map.set(item, map.get(item) + 1);
} else {
map.set(item, 1);
}
}
let ret = [];
for(let item of nums1){
if(!!map.get(item)){
map.set(item,map.get(item)-1)
ret.push(item)
}
}
return ret;
};
167. 两数之和 II - 输入有序数组
分析
- numbers 是升序数组，找出 n1+n2 = target , 返回 n1,n2 对应的下标值 [i1,i2] -- 注意下标值从 1 开始
- 每个输入只有唯一的输出值
- 时间复杂度 nlogn
var twoSum = function (numbers, target) {
for (let i = 0; i < numbers.length-1; i++) {
const temp = target - numbers[i];
let l = i + 1,
r = numbers.length - 1;
while (l <= r) {
const mid = ((r - l) >> 1) + l;
if (numbers[mid] === temp) return [i + 1, mid + 1];
if (numbers[mid] < temp) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
}
};
287. 寻找重复数
分析
- 给定长度为 n+1 的 nums，里面的值都是 1-n, 本题中只有一个值是重复的，找出这个值
- 注意这里只是表明重复的只有一个值，但是这个值重复多少次并没有说明，所以不能用简单的异或二进制处理
- 但是我们可以选定以 mid 值，然后判断小于等于 mid 值 count，如果 count 超出了 mid ，证明在 [1,mid] 中至少有一个值重复了，这个时候可以砍掉右侧部分
- 当 left 和 right 相等之后，即找到了唯一重复的值，因为这个时候左右两侧的值都不服要求，就只有这个了
- 时间复杂度 O(nlohn), 空间复杂度 1
var findDuplicate = function (nums) {
let left = 1,
right = nums.length - 1; // 值是 1 - n
while (left < right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
const count = nums.reduce((prev, cur) => (cur <= mid ? prev + 1 : prev), 0); // 小于等于 count 的值
if (count > mid) {
// 如果 [1,mid] 这个数组满值的情况才只有 mid 个，现在 count 如果比这个还大，证明重复的值在这里面
right = mid;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return left;
};
4.寻找两个正序数组的中位数
分析
- 已知两个有序数据，求中位数 （和求第 k 小没啥区别）
- 根据两个数组的大小，将题转成求第 k 小的题目
- 这题使用二分没能直接过，判定条件边界很多，最后放弃直接用二分处理掉了
var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
const n = nums1.length,
m = nums2.length;
let sum = n + m; // 如果是偶数，取两个值 prev,cur ,取中间值
let k = (sum + 1) / 2; // 可以是非整数
let cur;
while (k >= 1) {
if (!nums1.length) {
cur = nums2.shift();
} else if (!nums2.length) {
cur = nums1.shift();
} else {
if (nums1[0] <= nums2[0]) {
cur = nums1.shift();
} else {
cur = nums2.shift();
}
}
k--;
}
let next;
if (k !== 0) {
// 这里用 ?? 而不是用 || , 是因为判断 nums[0] 是否为 undefined，而如果是 0 的时候，取 0 而非切换到 Infinity;
next = Math.min(nums1[0] ?? Infinity, nums2[0] ?? Infinity);
return (cur + next) / 2;
}
return cur;
};
410. 分割数组的最大值
分析
- 切分数组 nums，使得切割后数组和最大的那个值最小 -- 子数组是连续的；
- 也就是尽可能按照总和均匀的将值分配到每一个数组中，且每个数组中最少有一个值,所以最小值应该就是 max(nums[i]), 最大值是 sum(nums)
- 设计一个函数 check(max), 判断是否能切割出 m 个连续子数组，且值小于等于 max；如果可以，证明这个是一个较大值，可以继续向左侧逼近，找到一个更小的值；如果不可以，证明这个值 max 偏小了，需要求的值在右侧.
- 这里最需要注意的是，切割的子组件是连续的；同时每一个数组至少有一个值；
- 只要捋清楚 check 这个函数，基本就能每次都切掉一半，直接拿到最后值了；
var splitArray = function (nums, m) {
// 先找到 left 和 right
let left = 0,
right = 0;
for (let num of nums) {
left = Math.max(num, left);
right += num;
}
// 切割最大值不超过 max 的数组，如果切出来的数组数量少于 m，则证明可以切得更新，发挥 true
// 如果切除来的数组数量超出了 m, 证明只且 m 组的时候，最小值要超出 max 了，返回 false
function check(max) {
let ret = 0,
sum = 0;
let i = 0;
while (i < nums.length) {
sum += nums[i];
if (sum >max) {
// 一旦超出 max，则分组结束，sum 重新设置为 nums[i]
ret++;
sum = nums[i];
}
i++
}
// 如果最后还有剩，单独成团
ret = sum ? ret + 1 : ret;
return ret<=m
}
while (left <= right) {
const mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (check(mid)) {
// 如果能找到，向左逼近 -- right 最后得到的是一个不成功的值，因为只要成功它就要发生改变
right = mid - 1;
} else {
// left 最终出去的时候，肯定代表一个成功的值
left = mid + 1;
}
}
return left;
};