【金融量化分析】#期权相关定价方法与代码表达

期权主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。

想了解下不？

不想？滚

想，那得先知道 Black-Scholes 期权定价公式

Black-Scholes 期权定价公式（偏微分方程SDE）

简单推导期权定价模型：https://zhuanlan.zhihu.com/p/399851702

说人话就是：模型在推导过程中运用到了一个很重要的微分方程：

其中，式子中的 f 表示看涨期权价格，S表示期权基础资产的价格，r为连续复利的无风险收益率，σ为基础资产价格百分比变化(收益率)的波动率，t是时间变量。

欧式看涨期权

欧式看跌期权

L=K(不同版本的表达)

其中

Code:

function Call = blsprice(S,K,r,T,sigma)
% BS formula for European call pricing

d1 = (1./(sigma.*sqrt(T))).*( log(S/K) + (r+sigma.^2/2).*T);
d2 = d1 - sigma.*sqrt(T);
Z1 = normcdf(d1,0,1);
Z2 = normcdf(d2,0,1);
Call = Z1*S - Z2*K*exp(-r*T);
end

python代码实现

import numpy as np
from scipy.stats import norm
 
def call_BS(S,K,sigma,r,T):
    '''用bs模型计算欧式看涨期权价格
    S 期权基础资产价格
    K 期权执行价格
    sigma 基础资产价格百分比变化（收益率）的年化波动率
    r 无风险收益率
    T 期权合约剩余年限
    '''
    d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
 
def put_BS(S,K,sigma,r,T):
    '''用bs模型计算欧式看跌期权价格
    S 期权基础资产价格
    K 期权执行价格
    sigma 基础资产价格百分比变化（收益率）的年化波动率
    r 无风险收益率
    T 期权合约剩余年限
    '''
    d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)

B-S的应用：隐含波动率的计算

https://blog.csdn.net/hzk427/article/details/104501847

call put parity 看跌-看涨平价关系式（待补充）

具有相同执行价格与期限的欧式看跌期权、看涨期权在价格上有一个重要关系式。上面put的价格也由此推出

两个投资组合的讨论(无套利)

首先，考虑以下两个投资组合在期权合约到期时的盈亏情况。A投资组合：一份欧式看涨期权和一份在T时刻到期的本金为K的零息债券；B投资组合：一份欧式看跌期权和一份基础资产。这里需要假设看涨期权与看跌期权具有相同的执行价格K与相同的合约期限T。

对于A投资组合而言，零息债券在期权合约到期日(T时刻)的价值显然是等于K，而对于看涨期权则分两种情形讨论。

情形1：如果在T时刻，基础资产价格St>K，A投资组合中的欧式看涨期权将被执行，此时，A投资组合的价值是(St-K)+K=St；

情形2：如果在T时刻，基础资产价格St

对于B投资组合而言，也分两种情形讨论。

情形1：如果在T时刻，基础资产价格St>K，此时，B投资组合中的欧式看跌期权没有价值，此时，B投资组合价值为St，也就是仅剩下基础资产的价值；

情形2：如果在T时刻，基础资产价格StK时，在T时刻两个投资组合的价值均为St；当St

由于A投资组合与B投资组合中的期权均为欧式期权，在期权到期之前均不能行使，既然两个投资组合在T时刻均有相同的收益，在期权合约的存续期内也应该有相同的价值。否则，就会出现无风险套利机会，套利者可以买入价格低的投资组合，与此同时卖空价格高的投资组合进行无风险的套利，无风险套利收益就是等于两个组合价值的差额。

公式如下：

看涨期权 + 零息债券价格 = 看跌期权 + 基础资产价格

通常被用来判断期权价格是否合理

Python代码实现

def call_parity(p,S,K,r,T):
    '''通过平价关系式用看跌期权价格计算欧式看涨期权价格。
    p：欧式看跌期权价格
    S：期权基础资产价格
    K：执行价格
    r：无风险收益率
    T：合约剩余期限    
    '''
    return p + S - K * np.exp(-r * T)
 
def put_parity(c,S,K,r,T):
    '''通过平价关系式，用看涨期权价格计算欧式看跌期权价格。
    c：欧式看涨期权价格
    S：期权基础资产价格
    K：执行价格
    r：无风险收益率
    T：合约剩余期限    
    '''
    return c + K * np.exp(-r * T) - S

举个例子

假设当前股票价格为20元股，期权的执行价格为18元/股，无风险收益率为每年5%,3个月的欧式看涨期权价格对外报价是2.3元,3个月的欧式看跌期权对外报价是0.3元，期权价格是否合理？

call_parity(p=0.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>2.523599591110134
put_parity(c=2.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>0.07640040888986732

看涨期权被低估，看跌期权则被高估，因此可以通过持有看涨期权的多头头寸并买入零息债券(相当于买入A投资组合)，同时持有看跌期权的空头头寸并卖空基础资产（相当于卖空B投资组合），从而实现无风险套利。

Martingale 定价（待补充）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/95538708

Monte Carlo 模拟是个啥

蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质 是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到 期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不 依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。

说人话：就TM4一种统计学的方法、模拟方法，通过大量随机样本模拟问题，从而获得所要计算的值。

三门问题的应用

https://blog.csdn.net/baidu_41327283/article/details/99289216

Monte Carlo method 期权定价

用python实现

#蒙特卡洛模拟看涨期权价格
def call_MonteCarlo(S,K,T,r,sigma,n):
    z = standard_normal(n) # 从标准正态分布中抽取一个样本
    St = S*np.exp((r-0.5*sigma**2)*T+sigma*z*np.sqrt(T))
    c = sum(np.maximum(0,St-K))*(np.exp(-r*T))/n
    return c
#蒙特卡洛模拟看跌期权价格
def put_MonteCarlo(S,K,T,r,sigma,n):
    z = standard_normal(n)
    St = S*np.exp((r-0.5*sigma**2)*T+sigma*z*np.sqrt(T))
    p = sum(np.maximum(0,K-St))*(np.exp(-r*T))/n
    return p
c = call_MonteCarlo(5.29,6,0.5,0.04,0.24,5000)
p = put_MonteCarlo(5.29,6,0.5,0.04,0.24,5000)
print('蒙特卡洛模拟看涨期权价格为{:.4f}，看跌期权价格为{:.4f}'.format(c,p))

是不是很迷糊？接着看

那么第一步标的资产的价格路径如何模拟？

第二步中的期权到期汇报贴现是啥？自己去搜。。。

就是有句话当讲不当讲都要讲：所有金融衍生品的价值都等于每一个时期预期获益的贴现后的现值

so,

二叉树模型（CRR Tree method ）

这啥

B-S 虽好，但是不同偏微分方程的菜鸡太多，而且不太适用于美式期权的定价
而蒙特卡洛模拟在处理提前行权（美式期权）问题时表现出不足，这时就可以使用二叉树法求解

https://zhuanlan.zhihu.com/p/330957457

代码实现

import numpy as np
# 二叉树模型对欧式看涨期权定价


def binarytree_ecall(S, K, r, sigma, t, N):
    '''S:标的资产价格；K:期权的执行价格;r:年化无风险利率（找到shibor加小数点）；
    sigma:标的资产收益率的标准差；t:年化的时间长度；N：二叉树的步长'''
    deltaT = t / N
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(deltaT))
    # 根据风险中性定价公式，求S方差，即可推导
    d = 1 / u
    P = (np.exp(r * deltaT) - d) / (u - d)
    # 风险中性测度
    prices = np.zeros(N + 1)
    # 股票价格向量用0填充
    calls = np.zeros(N + 1)
    # 期权价格向量用0填充
    for i in range(0, N + 1):
        prices[i] = S * (u**i) * (d**(N - i))
        # 一次计算第1、2……个价格dddd,uddd,udd,uud,uuu
        calls[i] = np.maximum(prices[i] - K, 0)
        # 然后计算对应的看涨期权价格
        # 这样就得到了最后一层二叉树的股票价格和期权价格
    for i in range(N, 0, -1):
        # 二叉树叶节点往内部节点遍历
        for j in range(0, i):
            calls[j] = (
                P * calls[j + 1] +
                (1 - P) * calls[j]) * np.exp(-r * deltaT)
            # 得到前一层的价格，此时已经是N个期权价格
            # 下一次i迭代将变成N-1个期权价格，总共迭代N次
            # 只剩下1个价格。
    return calls[0]


c = binarytree_ecall(
    S=2.265, K=2.05, r=0.019680, sigma=0.239174492, t=0.46, N=250)
print('50ETF欧式看涨期权的价格为', round(c, 100))
print('real open price: 0.29')

美式看涨期权

相比欧式期权，美式期权需要先计算提前行权的收益判断是否提前行权。提前行权的收益为本节点上股票的预期价格减执行价格。如果收益大于期权价值，说明提前行权获利更多，因此会提前行权；反之则不会。

#二叉树法为美式看涨期权定价
def binarytree_ameripcall(S,K,r,sigma,t,steps):
    '''
    S: 标的资产初始价格；
    K: 期权的执行价格；
    r: 年化无风险利率；
    sigma: 标的资产连续复利收益率的标准差；
    t:以年表示的时间长度；
    steps:二叉树的步长。
    '''
    u = np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps))#时间间隔为△t=t/steps
    d = 1/u
    P = (np.exp(r*t/steps)-d)/(u-d)
    prices = np.zeros(steps+1)
    c_values = np.zeros(steps+1)
    prices[0] = S*d**steps#生成最后一列的股票价格空数组
    c_values[0] = np.maximum(prices[0]-K,0)#生成最后一列的期权价值空数组
    for i in range(1,steps+1):
        prices[i] = prices[i-1]*(u**2)#计算最后一列的股票价格
        c_values[i] = np.maximum(prices[i]-K,0)#计算最后一列的期权价值
    for j in range(steps,0,-1):#逐个节点往前计算
        for i in range(0,j):
            prices[i] = prices[i+1]*d#判断是否提前行权
            c_values[i] = np.maximum((P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])*np.exp(-r*t/steps),prices[i]-K)
    return c_values[0]
A2 = binarytree_ameripcall(S=810,K=800,r=0.05,sigma=0.2,t=0.5,steps=2)
print('二叉树法为美式看涨期权定价：',round(A2,2))