几何分布的期望和方差公式推导_B-S-M期权定价公式

前言

一、微积分部分

若

~

，那么

Y服从正态分布，X服从对数正态分布

显然，

，

对X取期望，以及计算X的2阶原点矩

^[1]

令

，那么

同理，二阶矩为

可以得到

二、几何布朗运动和伊藤引理的运用

由于股票价格变动服从几何布朗运动，所以

，

且

~

令

，根据伊藤引理得到，

^[2]

因此，

~

三、求

同上第一部分，令

，那么

在第一部分中，可以得到这样一个等式

，应用到本部分则

B-S-M期权定价公式推导

方法1：（一般性）

如果看懂了前言，那剩下部分就能很好的推导出B-S-M期权定价公式了

以不付息欧式看涨期权为例，

，

方法2：（伊藤引理-构建无风险组合-B-S-M微分方程求解）

第二部分中令

，现在期权的定价是和标的股票的价格和时间均相关，因此令

，运用伊藤引理得到

若在一个很小的时间间隔

中，

可以构建一个一单位衍生证券空头和

单位证券多头组合，

代表投资组合价值

时间后，

由于不存在波动项，本质是一个无风险组合，

，最后可以得到B-S-M微分方程

求解微分方程得到

，

方法3：（蒙特卡洛模拟）

B-S-M期权定价的缺陷

BS模型的假设在现实中有些是无法成立的

参考

1. ^若顺次进入第三步是按照随机变量函数的期望思路，若直接跳到第四步是按照对数正态分布直接暴力积分的思路
2. ^本质是泰勒展开到二阶，再忽略高阶项，再细致点可以参考 https://wenku.baidu.com/view/ccf90200854769eae009581b6bd97f192279bf66.html