计算图像的Jacobian矩阵

梯度向量

如果目标函数 $f$ 为单变量，并且$f$是关于自变量向量 $X=(x_1,x_2,\dots x_n{)}^T$的函数，即$f(X)$,
此时，$f$对向量$X$求梯度，得到的结果为一个与$X$同维度的向量，称之为梯度向量,用$g(x)$表示。
$$g(x)=\nabla f(X)=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots \frac{\partial f}{\partial x_n}{)}^T$$

Jacobian矩阵

如果目标函数$f$为一个函数向量, 并且函数向量$f$的每一个函数都是关于自变量向量 $X=(x_1,x_2,\dots x_n{)}^T$的函数, 即$f(X)$,
此时，函数向量$f$对自变量$X$求梯度，所得结果为一个矩阵，行数与函数向量$f$的维度相同，列数与自变量$X$的维度相同，此矩阵成为Jacobian矩阵, 而且，它的每一行都是由相应的函数的梯度向量构成，

$$\nabla f(X)={\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]}_{m\times n}=\left[\begin{array}{c}{g}_1(X{)}^T\\ g_2(X{)}^T\\ \dots \\ g_m(X{)}^T\end{array}\right]$$
从上式可知，梯度向量是Jacobian矩阵的一个特例，当目标函数为标量函数时，Jacobian矩阵就是梯度向量。
求解图像的Jacobian矩阵，其实就是求图片的梯度，得到Jacobian的梯度向量。
详细求解方法，请参考我的另一篇文章 使用梯度法提取图像的边缘特征