【中级计量经济学】Lecture 8 虚拟变量回归

Lecture 8 虚拟变量回归

8.1 虚拟解释变量

虚拟变量定义

虚拟变量陷阱：实质是完全多重共线性

虚拟解释变量的回归

加法类型

乘法类型

虚拟解释变量综合应用

• 结构变化分析

• 交互效应分析

  交互项：

  $C=\alpha +\beta Y+u$

  $\beta ={\beta }_1+{\beta }_{2}Z$

  $\Rightarrow C=\alpha +({\beta }_1+{\beta }_{2}Z)Y+u=\alpha +{\beta }_{1}Y+{\beta }_{2}YZ+u$

  刻画交互作用的方法，在变量为定性变量时， 是以乘法方式引入虚拟变量的。

• 分段回归分析

  常用于时间序列，引入虚拟变量能够区分不同时期的影响的差别，而且两个时期的回归直线在1979年的观测值上交汇。知道一组转折点自变量和应变量的观测值$(X_{1979},Y_{1979})=(X^{\ast },Y^{\ast })$，创建一个虚拟变量:
  $$\begin{gathered} D_t=\{\begin{array}{ll}0& t<1979\\ 1& t\ge 1979\end{array} \\ {Y}_t={\beta }_0+{\beta }_1{X}_t+{\beta }_2(X_t-X^{\ast })D_t+u_t \end{gathered}$$
  如果${\beta }_2$显著不为0，则说明在1979年前后，$X$对$Y$的影响发生了明显改变。

• 盲点（异常值）分析

  有时，若干观测点对应于特定的政治或者经济事件，它们与其余观测截然不同。我们可以采取虚拟变量来描述这个异常点。若只有一个盲点，虚拟变量在该盲点观测值上取值为1，其余为0.

8.2 虚拟被解释变量模型（二项选择模型/离散选择模型DCM）

线性概率模型（LPM）

缺点：

1. 取值界限问题：不能保证$0<E(Y_i|X_i)<1$，即拟合出来的概率可能会超出单位区间。
2. 异方差问题：除非因变量与任何一个解释变量都无关，否则模型一定存在异方差问题。
3. 线性假设问题
4. 任何一个解释变量（以水平值形式出现）的偏效应都是不变的。

Logit和Probit模型

基本结构

$$E(Y|X)=p=P(Y+1|X)=G(X\beta )$$

对Logit Model：$G(X\beta )=\Phi (X\beta )$

对Probit Model：$G(X\beta )=\Lambda (X\beta )=\frac{\exp (X\beta )}{1+\exp (X\beta )}$

Logit Model

用$\ln (\frac{p}{1-p})=X\beta$作自变量，$\ln (\frac{p}{1-p})$被称作机会对数比率，也称作logit。

因变量对自变量的敏感度（Partical Effects）：
$$\frac{\partial p}{\partial X}=\frac{\exp (X\beta )}{(1+\exp (X\beta ){)}^2}\beta$$

Probit Model

因变量对自变量的敏感度（Partical Effects）：
$$\frac{\partial p}{\partial X}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(X\beta {)}^2}{2})\beta$$

模型估计

极大似然估计

对数似然函数：
$$\ln L=\sum _{i=1}^n(Y_i\cdot \ln [G(X\beta )]+(1-Y_i)\cdot \ln [1-G(X\beta )])$$

模型检验

联合显著性检验

• 似然比检验（LR检验）：$LR=-2(\ln L_R-\ln L_{UR})\sim {\chi }^2(k)$，$k$个约束性条件

  其中Restricted model为仅有常数项的模型，$\ln L_R$是这个模型的对数似然比函数值；

  Unrestricted model为被估计模型，$\ln L_{UR}$是这个模型的对数似然比函数值。

• Wald检验：$W$统计量

单参数检验

相当于是约束条件检验，其中受约束方程为去除某个（或者去除某$q$个）解释变量的方程。

• Wald受约束检验：$H_0={\hat{\beta }}_k=0$，$W\sim {\chi }^2(1)$ 或 $H_0={\hat{\beta }}_{k+1}=\cdots ={\hat{\beta }}_{k+q}=0$，$W\sim {\chi }^2(q)$
• 似然比检验：$LR=-2(\ln L_R-\ln L_{UR})\sim {\chi }^2(1)$ 或$\sim {\chi }^2(q)$

分组检验

把全样本分成G组

拟合优度检验（LRI=Pseudo-R^2）

$$LRI=Pseudo-R^2=1-\frac{\ln L_{UR}}{\ln L_R}$$

如果模型是perfectly fitted，即当$Y_i=1$，$G(X\beta )=1$；$Y_i=0$，$G(X\beta )=0$
$$\begin{gathered} \Rightarrow \ln L=\sum _{i=1}^n(Y_i\cdot \ln [G(X\beta )]+(1-Y_i)\cdot \ln [1-G(X\beta )])=0 \\ \Rightarrow LRI=1-\frac{0}{L_R} \end{gathered}$$