【12月学习进度9/31——计算机图形学期末准备06】四阶三次B样条曲线矩阵形式推导及MATLAB实现

B样条曲线的递归定义

B样条曲线与给定的阶数 $k$ 和 节点向量都有关
↓
即使选取的阶数 $k$ 相同，但节点向量不同，则得到的曲线也不同

一些规律：

递推图示：

$k$ 阶B样条 $N_{i,k}(u)$ 可由两个 $k-1$ 阶 $N_{i,k-1}(u),N_{i+1,k-1}(u)$ 递推得到

系数的含义：

系数分别为
$$\frac{u-u_i}{u_{i+k-1}-u_i}$$
和
$$\frac{u_{i+k}-u_i}{u_{i+k}-u_{i+1}}$$
分母分别为两个 $k-1$ 阶基函数的支撑区间：

• $N_{i,k-1}(u)$ 的支撑区间为 $[u_i,u_{i+k-1})$
• $N_{i+1,k-1}(u)$ 的支撑区间为 $[u_{i+1},u_{i+k})$

分子为参数 $u$ 将 $N_{i,k}(u)$ 的支撑区间 $[u_i,u_{i+k})$ 划分为两部分

• $u-u_i$ 为参数 $u$ 距离左端节点位置
• $u_{i+k}-u$ 为参数 $u$ 距离右端节点位置

分子（距离）除以分母（区间长度）后，将距离归一化到 $(0,1)$ 之间
因此, $N_{i,p}(u)$ 是$N_{i,p-1}(u)$ 和 $N_{i+1,p-1}(u)$ 的线性组合，有两个系数，都在 $u$ 上是线性的，在0和1之间。

四阶均匀B样条曲线

1.计算四阶B样条基函数 $N_{i,4}(u)$

根据递推公式计算：

如上图所示，B样条基函数 $N_{i,4}(u)$ 由四段三次多项式曲线拼接而成。
四条三次多项式曲线如下图所示：
（分别为实线、虚线、点线、点划线）

其中B样条基函数 $N_{i,4}(u)$ 曲线为下图中红色曲线：

均匀B样条基函数在曲线定义域内各个节点区间上都有相同图形
（相同公式，其中所有的 $u_{i+1}-u_i$ 都相同）

上图可以分析B样条的局部控制特性
例：
第一个控制点 $P_i$ 只与 $N_{i,4}(u)$ 相乘（由B样条曲线定义式得），所以其影响 $N_{i,4}(u)$ 的支撑区间 $(u_i,u_{i+4})$ 上的曲线的形状

2. 简化函数形式

以其中一个节点区间 $[u_{i+3},u_{i+4})$ 为例：

上图中 $(i,j)$ 表示第 $i$ 个基函数的第 $j$ 段分片

上述公式中很多 $u-u_{i+j}$ 形式的因子
   ↓
   ↓ 令 $t_j=u-u_{i+j}$
   ↓
（仍以区间 $[u_{i+3},u_{i+4})$ 为例）
引入
$$t_3=u-u_{i+3}$$
则
$$u_{i+j}\le u<u_{i+j+1}<=>0\le t_j<1$$
（注：$(u_i,u_{i+1},...,u_{i+k})$是间隔为1的节点向量）

上述式子对任意的 $i$ 均成立
令 $i=0$ , $t_3$ 用 $u$ 名称替换，得如下：

每4个点一组，确定一段三次曲线

【矩阵形式表示】

同理可得，
二阶一次B样条曲线表达式：

三阶二次B样条曲线表达式：

四阶三次B样条曲线MATLAB实现

利用四阶三次的矩阵形式实现
依次计算每一段曲线的x,y坐标，并存入2个结果矩阵 $xx,yy$
$xx$ 矩阵每一行为每一段曲线对应的所有 $x$ 坐标
$yy$ 矩阵每一行为每一段曲线对应的所有 $y$ 坐标

byang.m函数文件 :

function byang(n)
%输入n个点
axis([0,100,0,100])     %定义画布大小
[px,py] = ginput(n);

plot(px,py,'ro');
hold on;

xx=[];
yy=[];%用来存储B样条的x,y值
for i=1:n-3
    %每一个i对应于一段曲线
    x_temp = [];
    y_temp = [];
    for u = 0:0.01:1
        x_item = (1/6)*[u^3,u^2,u,1]*[-1,3,-3,1;3,-6,3,0;-3,0,3,0;1,4,1,0]*[px(i);px(i+1);px(i+2);px(i+3)];
        y_item = (1/6)*[u^3,u^2,u,1]*[-1,3,-3,1;3,-6,3,0;-3,0,3,0;1,4,1,0]*[py(i);py(i+1);py(i+2);py(i+3)];
        x_temp=[x_temp,x_item];
        y_temp=[y_temp,y_item];%保存当前u对应的x,y值
    end
    %绘制完该条曲线
    %每条曲线对应于xx,yy的一行
    xx = [xx;x_temp];
    yy = [yy;y_temp];
end

[i,j] = size(xx);
for k = 1:i %i为行数
    plot(xx(k,:),yy(k,:));%画出每一段曲线
end

使用ginput函数，获取用户选中的点的坐标：

结果：