假设检验——Z检验、t检验
假设检验，也称为显著性检验，通过样本的统计量来判断与总体参数之间是否存在差异（差异是否显著）。即我们对总体参数进行一定的假设，然后通过收集到的数据，来验证我们之前作出的假设（总体参数）是否合理。在假设检验中，我们会建立两个完全对立的假设，分别为原假设H0与备择假设H1。然后根据样本信息进行分析判断，是选择接受原假设还是拒绝原假设。
假设检验基于“反证法”。首先，我们假设原假设为真，如果在此基础上，得出了违反逻辑与常理的结论，则表明原假设是错误的，我们就接受备择假设。
小概率事件
在假设检验中，违反逻辑与常规的结论，就是小概率事件。一般来说，小概率事件在一次试验中是不会发生的。如果发生，则我们便有理由拒绝原假设。
假设检验遵循“疑罪从无”的原则，接受原假设，并不代表原假设一定是正确的，只是没有充分的证据，证明原假设是错误的。
P-Value与显著性水平
为了便于量化，我们可以计算一个概率值（P-Value），该概率值可以认为是支持原假设的概率，也就是样本统计量与总体参数无差异的概率。然后，我们设定一个显著性水平α（通常取值为0.05）。当P-Value的值大于α时，支持原假设。
假设检验与置信区间有一定的关联性，只不过假设检验是通过反正的角度来判断是否接受原假设。
假设检验的步骤
步骤如下：
- 设置原假设与备择假设。
- 设置显著性水平α（通常选择α=0.05）。
- 根据问题选择假设检验的方式。
- 计算统计量，并通过统计量获取P值。
- 根据P值与α值，决定接受原假设还是备择假设。
常用的假设检验方法
Z检验
Z检验用来判断样本均值是否与总体均值具有显著性差异。Z检验是通过正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个均值的差异是否显著。Z检验适用于：
- 总体呈正态分布。
- 总体方差已知。
- 样本容量较大（≥30）。
Z检验计算公式如下：
通过假设检验可以计算如下题目：
某车间用一台机器制作袋装糖，袋装糖的净重是一个随机变量，服从正态分布。机器运行正常时，其均值为0.5kg，标准差为0.015kg。某日工作后，检验包装机是否正常，随机抽取9袋糖，称得净重为（kg）：0.497、0.506、0.518、0.524、0.498、0.511、0.520、0.515、0.512，请问机器是否正常？
- 设置原假设与备择假设：
原假设：μ = μ0 = 0.5kg（机器正常）
备择假设：μ ≠ μ0 ≠ 0.5kg（机器不正常） - 设置显著性水平：
α = 0.05 - 根据问题选择假设检验的方式：
根据题意已知糖的净重呈正态分布且总体标准差已知，故选择Z检验。 - 计算统计量，并通过统计量获取P值。
from scipy import stats
a = np.array([0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512])
#总体的均值和标准差
mean, std = 0.5, 0.015
#计算样本均值
sample_mean = a.mean()
#计算标准误差
se = std/np.sqrt(len(a))
#计算Z统计量
Z = (sample_mean-mean)/se
print('统计量Z：'，Z)
#计算P值
p = 2*stats.norm.sf(abs(z))
print('P-Value值：', p)
通过结果可知，P值小于0.05，则拒绝原假设，接受备择假设，我们可以认为机器运作不正常。
t检验
t检验与Z检验类似，用来判断样本均值是否与总体均值均有显著性差异。不过t检验是基于t分布的，适用于：
- 总体呈正态分布。
- 总体方差未知。
- 样本数量较少（<30）
不过，随着样本容量的增大（样本数量≥30），t分布逐渐接近于正态分布。此时，t检验也就近似于Z检验。
t统计量计算公式：
- ¯x：样本均值。
- μ0：待检验的总体均值（假设的总体均值）。
- Sx：样本均值的标准差（标准误差）。
- S：样本的标准差。
- n：样本容量。
例：鸢尾花的平均花瓣长度为3.5cm，这种说法正确吗？
可以根据假设检验的步骤，进行解决。
- 设置原假设与备择假设：
原假设：μ = μ0 = 3.5cm（说法正确）
备择假设：μ ≠ μ0 ≠ 3.5cm（说法不正确） - 设置显著性水平：
α = 0.05 - 根据问题选择假设检验的方式：
鸢尾花数据呈正态分布，但总体标准差未知，故选择t检验。 - 计算统计量，并通过统计量获取P值。
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
iris = load_iris()
data = pd.DataFrame(iris.data, columns=['sepal_length','sepal_width','petal_length','petal_width'])
#计算样本均值、标准差
mean = data['petal_length'].mean()
std = data['petal_length'].std()
print('样本均值：',mean)
print('样本标准差：',std)
#计算t统计量
t = (mean-3.5)/(std/np.sqrt(len(data['petal_length'])))
print('t统计量：', t)
#计算p值
#df：自由度，即变量可以自由取值的个数
p = 2*stats.t.sf(abs(t), df=len(data['petal_length'])-1)
print('P-Value值：', p)
可以看到P值大于0.05，我们没有充分的理由拒绝原假设，则接受原假设，拒绝备择假设。
ps： 我们也可以通过scipy提供的相关方法进行t检验的计算（仅支持双边t检验）
stats.ttest_1samp(data['petal_length'], 3.5)
可以看到，使用scipy计算的结果，与自行计算的结果相同（忽略小数存储的误差）。
单边检验
有时候，我们关注的不是总体参数是否等于假设参数值，而是总体参数大于或小于假设参数值，这样的检验称为单边假设检验（单边检验）。如，我们关注的是机器改进后，生产能力是否有提高，而不是是否与之前不同。
以均值为例，设总体均值为μ，假设均值为μ0，如果设：
- 原假设：μ ≤ μ0
- 备择假设：μ ＞ μ0
则称这样的检验为右边假设检验（右边检验）。
如果设：
- 原假设：μ ≥ μ0
- 备择假设：μ ＜ μ0
则称这样的检验为左边假设检验（左边检验）。
说明：
- 在单边检验中，原假设为维持现状，备择假设为改变现状。
- 单边检验与双边检验计算统计量的方式是相同的，得出的P值不同（概率值不同）。
右边假设检验
如果把上面鸢尾花的问题改为：
鸢尾花的平均花瓣长度不超过3.5cm吗？
这就是一个右边假设检验的问题，求解过程如下：
- 设置原假设与备择假设：
原假设：μ ≤ μ0 （小于等于3.5cm说法正确）
备择假设：μ ＞ μ0 （小于等于3.5cm说法不正确） - 设置显著性水平：
α = 0.05 - 根据问题选择假设检验的方式：
鸢尾花数据呈正态分布，但总体标准差未知，故选择t检验。 - 计算统计量，并通过统计量获取P值。
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
iris = load_iris()
data = pd.DataFrame(iris.data, columns=['sepal_length','sepal_width','petal_length','petal_width'])
#计算样本均值、标准差
mean = data['petal_length'].mean()
std = data['petal_length'].std()
#计算t统计量
t = (mean-3.5)/(std/np.sqrt(len(data['petal_length'])))
print('t统计量：', t)
#计算p值
#df：自由度，即变量可以自由取值的个数
p = stats.t.sf(t, df=len(data['petal_length'])-1)
print('P-Value值：', p)
从结论可以看出P值小于0.05，拒绝原假设，则我们可以认为花瓣长度超过3.5cm。
左边假设检验
我们可以把上面的问题再次进行修改：
鸢尾花的平均花瓣长度不小于3.5cm吗？
这就是一个左边假设检验的问题，继续求解：
- 设置原假设与备择假设：
原假设：μ ≥ μ0 （大于等于3.5cm说法正确）
备择假设：μ ＜ μ0 （大于等于3.5cm说法不正确） - 设置显著性水平：
α = 0.05 - 根据问题选择假设检验的方式：
鸢尾花数据呈正态分布，但总体标准差未知，故选择t检验。 - 计算统计量，并通过统计量获取P值。
print('t统计量：', t)
#计算p值
#df：自由度，即变量可以自由取值的个数
p = stats.t.cdf(t, df=len(data['petal_length'])-1)
print('P-Value值：', p)
根据结论可以看出，P值大于0.05，接受原假设，我们可以认为花瓣长度不小于3.5cm。