算法用处总结

学习算法用处总结

一、基础算法

1、RMQ(st表)

可以通过预处理的方法查询区间最大值和最小值
只适用于静态问题，时间复杂度$O(nlog(n))$
预处理$f[i][j]$表示前从$i$开始的长度为$2^j$的区间最大值

二、数据结构

1、单链表和双链表

$O(1)$删除和插入

2、单调栈

维护一个单调递增或递减的序列，存储信息使得想要的结果

3、单调队列(滑动窗口)

维护窗口最值或者一个单调递增或递减的队列，某些程序会有大作用

4、kmp

$O(n)$匹配模式串和子串，维护重要的$next$数组

5、trie

存储数字或字符串出现次数，可以减少数据冗余，可以查询删除
可求最大异或和

6、可持久化trie

储存每一个字符串或数字的历史版本，可进行区间的查询，求区间的最大异或和

7、并查集

可以将两个集合合并成一个集合，可以维护集合的数量
可以查询集合是否在一个集合，时间复杂度$O(n)$
可以用并查集做一次的区间覆盖时间复杂度$O(n)$
维护多个集合的相互关系可以做很多事情

8、堆

维护一个大根堆或者小根堆，堆里面的数不是有序的，只是保证了根都是最小值或者最大值

9、哈希

开放寻址法和拉链法，一般情况$O(1)$，但是可以卡到$n^2$，尽量少用，是个概率算法
字符串哈希一般取$131$，$99$的概率不会碰到重复值

10、树状数组

可以在$O(log(n))$的时间复杂内修改和查询一个区间的值

11、线段树

可以实现单点，区间的修改和查询
有一个扩展的扫描线的应用，可以查询区域面积（长方形）

12、权值线段树

可以把一个区间分段，在区间长度$O(log(n))$下，维护一个区间的出现的树

13、可持久化线段树

存下每一个线段树的版本可以查询区间的第k小值

14、平衡树(treap)

插入数值 $x$
删除数值 $x$(若有多个相同的数，应只删除一个)
查询数值 $x$ 的排名(若有多个相同的数，应输出最小的排名)
查询排名为 $x$ 的数值
求数值 $x$ 的前驱(前驱定义为小于 $x$ 的最大的数)
求数值 $x$ 的后继(后继定义为大于 $x$ 的最小的数)
最主要的两个操作就是$split$（分裂）和$merge$（合并），可以按照权值分裂，也可以按照数的个数来分裂

15、AC自动机

相当于$kmp$的扩展用法，$kmp$是一个模式串匹配一个字串，$AC$自动机是一个模式串匹配一堆字串
$AC$自动机的有一个常数优化做法是$trie$图，时间复杂度是$O(n)$的

16、splay

17、树套树

18、块状链表

19、莫队

暴力区间查询的优化算法，通过分块将左端点分块，每次左端点块内移动不超过$n^{\frac{1}{2}}$时间复杂度,左端点块间移动总个数不超过$n^{\frac{1}{2}}$块,右端点每一移动不超过$n$，时间复杂度为$O(n^{\frac{3}{2}})$

20、树链剖分

21、动态树

22、DLX之精确覆盖问题

23、DLX之重复覆盖问题

24、左偏树

25、后缀数组

26、后缀自动机

27、点分治

28、点分树

29、CDQ分治

30、仙人掌

三、搜索与图论

$BFS$用于求最小值，第一次到达即为最小值

1、dfs & bfs

树的深度遍历、宽度遍历、字典序、$N$皇后等…

2、拓扑排序

判断是否有环

3、最短路算法

(1) $Dijkstra$：$n^2$ 算法就算起点$s$到终点$e$的距离 可以用堆优化加到$O(nlog(n))$
(2) $bellman-ford$: $n\ast m$ 用来做有边数限制的最短路,$m$为最短路
(3) $spfa$: 可以用来求最短路，可以判断负环,一般时间复杂度为$O(n\ast logn)$,最差为$O(n\ast m)$,$v$被更新的条件是$u$被更新
(4) $Floyd$: 现学的唯一一个多源最短路算法

4、最小生成树

(1) $Prim$: $n^2$的时间复杂度，和$Dijkstra$非常像
(2) $Kruskal$: $O(nlog(n))$ 因为要排序

5、染色法判定二分图

没有单数环

6、匈牙利算法

二分图的最大匹配

7、双端队列bfs

用于边权为0和1的最短路算法，注意这个时候每个点是可以被入队多次的，因为第一次更新到的点可能是边权为1，第二次更新可能是边权为1，这个可以参考dijkstra算法，因此只有在他是活结点使用的时候才进行标记，保证出队只有一次

8、Flood Fill（走迷宫类型）

在线性时间内找到某个点的连通块

9、用bfs走最短路

bfs具有当每个点的距离相等时，第一次搜到就是最近点

10、多源BFS

BFS一次性将起点全部入队用BFS搜索即可

11、双端队列广搜

四、数学知识

五、动态规划

1、背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用次数在每个题目不一定。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

2、线性DP

数字三角形，最长上升子序列，最长公共子序列，最短编辑距离啥的

3、区间DP

三层循环，第一层为长度，第二层为枚举区间，第三层枚举分界点

4、单调队列优化DP

5、斜率优化DP(凸包优化DP)

维持好一个斜率的关系就好

六、贪心

1、区间问题

可根据区间左端点或右端点排序，贪心的选择，使其得到想要的结果

2、Huffman树

合并果子问题，把一个问题分成多个子问题，子问题达到最优解时，证明两个子问题的最优解相加就是问题的最优解

3、绝对值不等式

货仓选址问题，在多个位置之间选择一个位置，使得所有地址到达此位置之和最小

4、推公式

考虑两个位置交换前和交换后，对其他位置的价值不产生影响，考虑交换前后最优解