【学习笔记】Min-Max搜索与α-β剪枝

我们在解决ICG游戏问题时，引入了$SG$函数作为必胜策略的判断依据。但$SG$函数的局限在于时空复杂度。$SG$搜索固然能保证答案的正确性，但其时空复杂度与状态数正相关。当游戏的状态数很多时，$SG$搜索便不再适用。此时应当适当牺牲正确性来保证高效性和可行性。

Min-Max搜索

为在牺牲正确性的同时保证可行性，我们可以引入估值函数$f(x):S\to R$给出对某一个状态$S$的评估。

我们规定，若状态$S^{\prime }$可以由状态$S$转移而来，则$f(S^{\prime })$给出了相对于S先手的估值。这个值越大认为$S$局面（注意不是$S^{\prime }$）越优。特别地，当$S^{\prime }$先手必败时，则对$S$而言先手必胜，则此时估值可以设置为$+\infty$。

我们将不同状态之间的转移关系抽象为有向边，便可以从初始状态$S_0$开始建立一棵搜索树，每一个节点代表一个状态。

在ICG游戏中，仅会有一个玩家胜利，即满足零和性。由此我们可以得到下列转移性质：

1. 对于根节点$S_0$，认为其深度为0，是先手对应的状态。
2. 对于叶子节点$l$，其估值为$f(l)$，$f(l)$与对先手的有利程度有关。
3. 对于深度为$d$的内部节点$n$：
   1. 若$d$是偶数，则$f(n)={\max }_{s\in ch[n]}f(s)$。
   2. 若$d$是奇数，则$f(n)={\min }_{s\in ch[n]}f(s)$。

前两点较易理解。对于第三点理解如下：经过每一轮，先后手会发生改变，因此在搜索树上，根节点等偶数层的点代表先手行动，而奇数层的点代表后手行动。由游戏的零和性，双方都需要找到对自己最有利的策略，即是对对方最不利的策略。而整个搜索树的估值函数是针对于先手而言的，当估值函数越小，则先手越不利。因此在后手行动的奇数层，就需要找到后继中估值函数值最小的状态进行转移，从而尽可能使后手最优。对偶数层同理。故得到上述转移函数。

一个搜索树示例如下：(图源：《极大极小搜索算法 minimax search》by thormas1996，https://blog.csdn.net/thormas1996/article/details/102662222)

可以发现，上述策略选择的正确性与估值函数的选取有着重要联系。在上图中，为使先手获得的利益最大，则应当选取$A-C-H$这一条路径。

$\alpha -\beta$剪枝

容易发现，$Min-Max$搜索的状态数仍然可能很多，因此需要采用一些剪枝操作，其中较有名的便是$\alpha -\beta$剪枝。

$\alpha -\beta$剪枝的基本思想是将搜索树上的点进行分类，通过对某一个点的可能估值确定上下界从而排除不可能的分支，达到剪枝的目的。

我们将搜索树上的节点分为三类：

1. 已遍历完自身及其子树，得到了自身的估值的点。不妨称为A类点。
2. 未完全遍历完自身子树，但已有至少一个儿子已完全遍历并确定了估值，即儿子中至少有一个A类点。我们称这类点为B类点。
3. 未遍历该点或该点的儿子中未有已确定估值的，即无A类点儿子。我们称这类点为C类点。（C类点可能有B类点儿子）

$\alpha-\beta $剪枝的针对对象便是B类点。它们的估值并未确定，但由于部分儿子的估值已经确定，所以可以根据这些信息为B类点的估值范围做出限制，并依此排除不可能的分支。

我们定义每一个B类点的估值的取值范围都有下界$\alpha$和上界$\beta$。当某一个分支的解必定小于$\alpha$或大于$\beta$时，则将这个分支剪除。

根据上述定义，我们需要解决两个问题：

1. 每一个B类点的上下界应当如何确定？
2. 如何根据上下界进行剪枝？

确定每一个点的上下界

我们先解决第一个问题。先给出结论：B类点的上下界由儿子与父亲共同决定。其中儿子节点会给定具体值来影响B类点的上下界，而父亲节点则是直接让B类点继承其上下界。

先举一个例子方便理解：

初始化所有节点的下界为负无穷，上界为正无穷，在搜索时现在搜索到上图阶段，即是由B号点访问值为3的叶子节点完毕后进行回溯的过程。

此时B号点属于max层，因此它最终的取值必定会大于等于其中某一个儿子的取值，由其第一个儿子可以确定B的取值范围下界为3。

上图反映了B类点上下界确定的第一种方法：由儿子节点确定的返回值来影响B类点的上下界。

上图是B号点在搜索完毕之后，进一步回溯到父亲A号点。

由于A是在min层，因此其最终的取值必定小于等于其某一个儿子的取值，故由B号点的取值可以确定A的取值上界为5。

上图反映的是A号点在访问完B号点之后，即将访问C号点的情况。由于A号点已经初步确定了自己的上下界(上界为5)，所以它将会把这个上下界直接赋予到儿子节点C号点上。赋予这个上下界的意义是：C的可能取值如果大于5，则没有意义，因为在C所在的层有值为5的B号点，B号点一定比C号点更优。因此我们可以令C的取值上界为5，从而对C引出的分支中取值大于5的分支进行剪枝。

小结一下：每一个点的上下界的确定有两种影响因素：

1. 由儿子节点中已知的点来确定上下界取值范围。
2. 由父亲节点直接继承上下界。

对于第一种，如果儿子存在多种取值的话，新确定的取值可能会进一步减小父亲的取值范围。如下图，一开始确定了B号点的取值为5之后，A的取值范围为$(-\infty ,5]$，在确定了C号点的取值为3之后，A的取值范围便缩小为$(-\infty ,3]$。

当然，也可能存在新确定的儿子取值与已有的取值区间冲突的情况，这就引出了我们的第二个问题。

如何根据上下界进行剪枝

我们以一个例子来展示这种剪枝方法的进行流程以及其优越性。

上图中，我们确定了C号点的取值范围，接下来遍历C号点的子树的时候，第一个儿子取值为10，超出了C的上界，那么C的取值一定会大于等于10，故C的分支一定是一个无用分支（A一定会选择B号点作为更优的选择），因此我们可以直接停止遍历C的子树，并令其返回一个必定不会成为答案的值（C处于最大层，我们默认返回其上界），从而完成了对C的子树搜索的剪枝。

注意：C位于max层，故若C的子元素的取值小于C的下界，不能直接进行剪枝。

上图中C遍历完自己的第一个儿子之后，取值区间为$[3,5]$。第二个儿子的取值小于下界3，此时不能进行剪枝，因为不能保证C的分支一定是无效分支，可以看到后续的第三个儿子取值为4，恰好是C号点的最优策略，也是A的最优策略。

上述剪枝的效果是十分明显的，尽管在图上未有明显的体现。但如果C的另一个儿子对应的搜索子树十分庞大，用这种剪枝方法便可以避免对这个子树的遍历，从而大大减小了搜索可能状态，提高效率。

注意：如果某一个点成功遍历完了所有的儿子且并未被剪枝，那么返回的时候并不是返回这个点自身的上界或者下界，而是返回其所有儿子节点中的最大值或者最小值。即该点的取值上界不一定是其儿子节点的最大值。（从上图便可以看出，C号点的最大儿子为4，但是上界为5，此时返回C号点的取值应该是4）

小结

从上述的两个问题的解决过程，我们可以总结到$\alpha -\beta$剪枝的基本规则：

1. 若x处于max层，其儿子节点的估值大于x的下界值，则更新下界。
2. 若x处于max层，其儿子节点的估值大于x的上界值，则停止遍历x的子树，返回x的上界值。
3. 若x处于min层，其儿子节点的估值小于x的上界值，则更新上界。
4. 若x处于min层，其儿子节点的估值小于x的下界值，则停止遍历x的子树，返回x的下界值。
5. 若x的所有儿子遍历完毕，则根据x所在层返回其儿子节点取值的最大值或者最小值。

实现代码如下：

void alpha_beta(int node, bool player, int alpha, int beta)
{
    if(!val[node])//如果当前点未确定估值	
    {
        int maxx = -inf, minn = inf;//记录node节点的儿子节点取值的最大值或者最小值
        for( int i = 0; i < children[node].length; i++ )
        {
            int now_val = alpha-beta(childern[node][i], player ^ 1,	alpha, beta);//继承上下界
            maxx = max(maxx, now_val);
            minn = min(minn, now_val);
            if(player == 0)//对应的是最大层
            {
               	if(now_val > alpha)
                {
                    alpha = now_val;
                }
                if(alpha >= beta)
                {
                    return beta;
                }
            }
            else //对应的是最小层
            {
                if(now_val < beta)
                {
                    beta = now_val;
                }
                else 
                {
                    return alpha;
                }
            }
        }
       	val[node] = (player == 1 ? minn : maxx);
    }
    return val[node];
}