《动手学深度学习》第三章——（4）softmax回归的简洁实现_学习思考与习题答案
文章目录
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- 重新审视Softmax的实现
- 优化算法
- 训练
- 练习
# 作者github [源码地址](https://github.com/Zhangshuor/deeplearning/blob/main/chapter_linear-networks/linear-regression-concise.py) # softmax回归的简洁实现 :label:`sec_softmax_concise`
在 :numref:sec_linear_concise中，我们发现(通过深度学习框架的高级API能够使实现(softmax)线性(回归变得更加容易)。同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。本节如在 :numref:sec_softmax_scratch中一样，继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)#数据拿进来，拿进到一个数据迭代器
如我们在 :numref:sec_softmax所述，[softmax回归的输出层是一个全连接层]。因此，为了实现我们的模型，我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。同样，在这里Sequential并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
net.apply(init_weights);
重新审视Softmax的实现
subsec_softmax-implementation-revisited
在前面 :numref:sec_softmax_scratch的例子中，我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。从数学上讲，这是一件完全合理的事情。然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。
回想一下，softmax函数 y ^ j = exp ( o j ) ∑ k exp ( o k ) \hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)} y^j=∑kexp(ok)exp(oj)，其中 y ^ j \hat y_j y^j是预测的概率分布。 o j o_j oj是未规范化的预测 o \mathbf{o} o的第 j j j个元素。如果 o k o_k ok中的一些数值非常大，那么 exp ( o k ) \exp(o_k) exp(ok)可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。这将使分母或分子变为inf（无穷大），最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的 y ^ j \hat y_j y^j。在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。
解决这个问题的一个技巧是：
在继续softmax计算之前，先从所有 o k o_k ok中减去 max ( o k ) \max(o_k) max(ok)。你可以看到每个 o k o_k ok按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：
y ^ j = exp ( o j − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) = exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) . \begin{aligned} \hat y_j & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \\ & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}. \end{aligned} y^j=∑kexp(ok−max(ok))exp(max(ok))exp(oj−max(ok))exp(max(ok))=∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)).
在减法和规范化步骤之后，可能有些 o j − max ( o k ) o_j - \max(o_k) oj−max(ok)具有较大的负值。由于精度受限， exp ( o j − max ( o k ) ) \exp(o_j - \max(o_k)) exp(oj−max(ok))将有接近零的值，即下溢（underflow）。这些值可能会四舍五入为零，使 y ^ j \hat y_j y^j为零，并且使得 log ( y ^ j ) \log(\hat y_j) log(y^j)的值为-inf。反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。
尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示，我们避免计算 exp ( o j − max ( o k ) ) \exp(o_j - \max(o_k)) exp(oj−max(ok))，而可以直接使用 o j − max ( o k ) o_j - \max(o_k) oj−max(ok)，因为 log ( exp ( ⋅ ) ) \log(\exp(\cdot)) log(exp(⋅))被抵消了。
log ( y ^ j ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = o j − max ( o k ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) . \begin{aligned} \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\ & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\ & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}. \end{aligned} log(y^j)=log(∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)))=log(exp(oj−max(ok)))−log(k∑exp(ok−max(ok)))=oj−max(ok)−log(k∑exp(ok−max(ok))).
我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，而是[在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数]，这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
优化算法
在这里，我们(使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法)。这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
训练
接下来我们[调用] :numref:sec_softmax_scratch中(之前)(定义的训练函数来训练模型)。
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。
练习
- 尝试调整超参数，例如批量大小、迭代周期数和学习率，并查看结果。
此题略
- 增加迭代周期的数量。为什么测试精度会在一段时间后降低？我们怎么解决这个问题？
答：这种现象被称为过度拟合。我们可以向训练集添加更多样本，并将L2规范化引入我们的模型。