metis 论文串行图划分笔记

Metis

图划分

目标：将图划分为几个包含差不多相等的顶点个数的部分，并且这些部分之间的边数目尽可能地小。（若是有权重的 ，则是各个划分内部的权重和差不多相等，各划分之间的权重尽可能小）

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k路划分：

可以不断地执行二路划分 递归的执行 logk 次：例如要求 4 个，那么递归执行 log4 即两次二分，那么就变成了四块。

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Coarsening Phase

多个节点合成一个节点，有以下几点要注意：

1. 节点的权值为合成的结点的总个数
2. 为保持连通性，新的边为原来的并集
3. 边的权值为并起来的边的个数之和

两种方法：

1. 随机匹配，匹配上的点合成一个节点
2. 有高度连接的点合成一个点

第二种方法适用于 VLSI 因为其中可能有很多连接紧密的节点。

第一种方法：
一个匹配是 maximal 的，为如果图中任何一个没被选入匹配的边的至少一个端点被匹配了。也即不能有这样的两个邻接点，他们都没被选中，这样的话这个匹配就不是 maximal 匹配

maximal 匹配中，拥有最大的边的数目的是 maximum 匹配

显然，计算 maximum 匹配要比普通的 maximal 匹配消耗的多。

G0 若是 maximal 的，则 Gi 仍是 maximal 的

Random Matching：
随机的访问图上的点，如果遇到一个没有被 match 的点，那我们就随机的找一个这样的点的邻接点，如果存在这样的一个邻接点 v，我们就将边 (u,v) 加入 match，表示 u 和 v
match 了，如果没有这样的一个点，那么 u 就保持 unmatched。复杂度为 O(|E|)。因为每次都是合并两个点，所以最多减少一半的点，所以这一轮过后不可能少于原图的一半的点的数目

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Partitioning Phase

目的：划分成两个差不多大小的顶点集合（weight 差不多），以及 edge-cut 尽可能小（两个集合间边个数或权值之和尽可能小）

此时的图已经尽可能小了（点的数目小于 100 个）

Kernighan-Lin Algorithm (KL)：
首先将图分为两半 A 和 B，定义 gain gv（对于v来说） 为，对 v 的邻接点 u，若 u 和 v 属于不同分区，将（u，v）其权重加起来，减去顶点属于同一分区的（u，v）权重之和。如果 gv 是正的，则将 v 移动到另一个区域中，
并且将 edge-cut 减小 gv。如果 gv 是负数，则移动到另一边并且 edge-cut 加上这个负数的绝对值（理解为减去这个负数）。

如果 v 从一边移动到了另一边，要更新 v 的邻接节点的 gain 值。

给出这样的一个定义，KL 算法不断地从较大的一边中选出 gain 最大的 v 并将其移动到另外一边。在移动 v 后，标记它那么同一个迭代中不会再考虑它，它的邻接节点被 update，在一个迭代内：原始的 KL 算法会一直
移动直到所有节点都被动过了，现在论文给出的算法是 x 次移动之后 edge-cut 就不会再降低了，反而可能会增加（gv是负数的情况），设置 x 为 50 次（即一个迭代 50 次交换）

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Uncoarsening Phase

在从 Gi+1 变为 Gi 的过程中，由于 Gi 更加精细了，所以可以有更好的划分方式，基本思想是从 A 和 B 之间选择两个子集合，交换他们能得到更少的 edge-cut。

Kernighan-Lin Refinement：
首先，将 Gi+1 的划分作为 Gi 的划分（因为他已经是一个好划分了），KL 算法将用 3~5 个迭代让它变成一个更好的划分。
在这种情况下，只有一小部份的顶点交换才能让他更好，更多的其他的交换只会让他更差，所以一个迭代内还是只交换 50 次。
KL 算法此时的复杂度取决于将顶点插入合适的数据结构的时间。也就是即使我们减少了交换顶点的数量，总体的时间复杂度也并不会大幅的下降。

problem

1. 没有考虑网络拓扑和带宽信息
2. 搜索空间很大，图很多，规模很大的时候很难做并行化，运行时间较长