基础数学（八）——期末考试复习

考试要求

• 两个小时，开卷，可用计算器
• 开卷：全开卷，可以多张A4纸，但是不能看电子版的资料
• 范围：1-9章。
• 题型：6个大题

考试内容

• 有效数字
• 根据条件做多项式插值和误差估计：
  • 一定是埃尔米特插值，能够写出插值多项式，以及相关误差。12分
• 拟合和回归
  • 最小二乘做拟合，极大似然做回归
• 数值积分：数值积分公式的构造和代数精度，给你一个不完整的数值积分公式，确定构造公式，然后确定代数精度。
  • N-C公式，只要求掌握梯形公式和simpson公式
  • 复化公式（一般是复化梯形公式（二等分）和复化Simpson公式）
  • 高斯公式（两个点的高斯公式）
• 线性方程组：
  • LU分解（Doolittle分解），J方法和GS方法的计算：给你初值X0，你用对应方法迭代一次
  • 收敛性的判定
  • Richardson迭代，参数选取，对于任意初值都收敛的值，以及最优值得选取
• 非线性方程求根：
  • 基本迭代法得构造，给出非线性方程，要能构造两种收敛格式，判断其收敛性并比较其收敛速度。
• 微分方程的求解：
  • 解析解：给出一阶线性微分方程，要会用积分因子法或者分离变量法去求解析解
  • 数值解：显示欧拉，隐式欧拉和改进欧拉

简单复习

插值

给你一个包含导数插值点，然后能过够列出对应插值公式，可以用Lagrange插值或者Newton插值实现，但是一定是Hermite插值的类型，最后要能够估计误差。

拟合和回归

• 拟合：直接用线性最小二乘，要列清楚具体流程，一定要出现矩阵的转置乘以系数矩阵的那一步 。不用法方程进行求解。

• 回归：极大似然估计，说明情况后，写出对应的似然函数，求出似然函数的最大值点。
• 需要说明：
  • 总体分布规律已知，随机项是零均值，同方差，正态分布的假设下，才能得到整体的分布规律是正态。
  • 分布参数未知
    

数值积分

• 公式构造：给你一个不完整的数值积分公式，如何选参数，使其具有尽可能高的代数精度，将被积函数一次带入x的零次方，一次方，二次方等，测试其满足条件的代数精度。
• N-C公式：仅考n=1和n=2
• 复化公式：仅考二等分的复化梯形公式和复化Simpson公式（少考）
• 高斯公式：只靠两个点的Gauss公式
  

直接法

• 直接考Doolittle分解，先将A分解成单位下三角和上三角的乘积。
  

迭代法

• 三个基本迭代法，都考
• 收敛性：记住使用严格对角占优性进行判定

非线性方程求根

• 仅考不动点迭代，要回判断收敛性和收敛速度。
• 收敛性：只需要满足局部收敛，根的位置局部连续并且的导数的绝对值小于1
• 如果给了一个初值，需要判断对初值是否收敛的。
• 尤其是对于重根的处理，需要注意。
• 构造两种，一种可以选择牛顿迭代。
  

微分方程数值解

• 解析解要会求：要会用积分因子法或者分离变量法去求解析解
• 三种欧拉都会考到
  

去年考题

• 今年考题和去年类似，强烈建议把去年的题目做一遍。

第一题，插值（12分）

• 今年，四个插值条件改变了其他都是一样的。
  

第二题，回归和拟合

• 同去年，今年老师说就是换了一个表，弄清楚流程即可
  
• 今年，改变了表格，有可能会多一小问。
  

第三题，数值积分

• 不完整的数值积分公式，需要确定对应A1，A2和x1的值，使其代数精度尽可能高，并指出代数精度，需要注意定积分的范围。
• 两个点的高斯公式，需要对区间进行定积分的替换，保证区间范围为【-1，1】
• 牛顿科特斯公式，根据精度，确定需要几个点进行计算。

• 今年，改变了积分的公式和计算方式。

第四题，线性方程组求解

• 第一小问，做doolittle分解，求解线性方程组，将A分解成单位下三角，一定要有这个过程，不然没有过程分。
• 第二小问，从初值出发，分别用Jacobi迭代和G-S迭代一步。对角占优性和对称正定性的判断，重点在于一个对称矩阵是否为正定的。
• 第三问，三个特征值求出来，三个特征值为7，5，1。根据结果进行判定α的结果。
• 第四问，不考，今年没讲，所以分值会少一点
• 注意：今年的题目，LU分解过程中，Y或者L或者U的过程可能是分数，需要在这些过程中保留分数的结果。尽量不要使用计算器，否则会越来越复杂，计算结果保留最简分数和根号。
• 今年仅仅改变了线性方程组，前三问相同。

第五题，非线性

• 重根计算，可以使用牛顿迭代，然后使用修改之后的牛顿迭代（乘以n），收敛速度更快。今年不一定考重根。
• 今年仅仅改变了方程的区间。

第六题，微分方程求数值解

• 第一问，求解析解
• 第二问，算出了近似值，然后知道了准确值，来比较有效数字。判断两种方法的有效数字。
• 今年仅仅修改了微分方程。

总结

• 今年是六道大题，题型和去年相似