数学建模：人口模型

Malthus指数增长模型

假设人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增
长量与当时的人口呈正比。
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{r}\frac{dx}{dt}=rx\\ x(0)=x_0\end{array} \\ x(t)=x_0{e}^{rt} \end{gathered}$$

人口倍增时间：$T=\frac{\ln 2}{r}$

参数估计

1. 线性化后，利用线性最小二乘法
   $$\begin{gathered} x(t)=x_0{e}^{rt} \\ \ln x(t)=rt+\ln x_0 \\ y=rt+a \end{gathered}$$

2. 先做数值微分，再计算增长率，将平均增长率作为增长率r的估计值，边界值$x_0$直接采用原始值。
   $$\begin{gathered} x^{\prime }(t_0)=\frac{-3x_0+4x_1-x_2}{2\Delta t} \\ {x}^{\prime }(t_k)=\frac{x_{k+1}-x_{k-1}}{2\Delta t} \\ {x}^{\prime }(t_n)=\frac{3x_n-4x_{n-1}-x_{n-2}}{2\Delta t} \end{gathered}$$

改进的指数增长模型

假设人口增长率r是线性可变的。
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{r}\frac{dx}{dt}=rx\\ r=r_0-r_{1}t\\ x(0)=x_0\end{array} \\ x(t)=x_0{e}^{} \end{gathered}$$

logistic模型

自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，随着人口的增加，阻滞作用越明显。资源和环境所能容纳的最大人口数量是$x_m$。当达到这一最大值时，人口不再增长。因此，假设人口增长率 r是 t 时刻人口x的减函数：$r(x)=r_0(1-\frac{x}{x_m})$
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{r}\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{x_m})\\ x(0)=x_0\end{array} \\ x(t)=\frac{x_m}{1+\frac{x_m-x_0}{x_0}{e}^{-rt}} \end{gathered}$$

logistic模型的参数估计

1. 将logistic模型变形，对人口数据做数值微分后计算增长率，再利用线性最小二乘法估计。
   $$\{\begin{array}{r}\frac{\frac{dx}{dt}}{x}=r(1-\frac{x}{x_m})\\ x(0)=x_0\end{array}$$

2. 直接利用原始数据和非线性最小二乘法估计。

两个模型比较

模型	优点	缺点
Malthus模型	短期预报比较准确	不适合中长期预报。预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环境对人口增长的制约作用。
Logistic模型	中期预报比较准确	理论上很好，实用性不强。预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 $x_m$ 为定值。实际上这两个参数（特别是 $x_m$）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。