时间序列:时间序列模型---白噪声

本文是Quantitative Methods and Analysis: Pairs Trading此书的读书笔记。

白噪声(white noise)是最简单的随机时间序列(stochastic time series)。

在每一时刻,从一个正态分布中抽取一个值从而形成白噪声时间序列。并且,这个正态分布的参数是固定的,不会随着时间变化。所以,这种情况就是从一个固定的概率分布中重复抽取值形成时间序列。用\varepsilon _{t}表示在时刻t抽取的值,所以在t时刻时间序列的值y_{t}=\varepsilon_{t}。最广泛使用的的白噪声是来自标准正态分布或者说高斯分布(即白噪声序列中的每一项都是从高斯分布中抽样而来,又一种说法就是这种白噪声服从高斯分布),称为高斯白噪声(Gaussian white noise)。

下图分别是一个白噪声时间序列,以及这个白噪声的自相关函数。

时间序列:时间序列模型---白噪声_第1张图片 白噪声时间序列

 

时间序列:时间序列模型---白噪声_第2张图片 correlogram:白噪声对应的自相关函数图

 

看自相关函数图,当lag=0(时间间隔为0)的时候,自相关性是1,这是自然的,每个值自己跟自己的相关性是1。对于其它的lag值,相关性小到可以忽略不计了。这是因为,所有的值都来自(抽样自)相同的独立的正态分布。独立的随机变量之间的相关性是0,也就是它们是不相关的。白噪声中每个值与不同时间间隔(time lag)的值之间是不相关的,而这也反映在自相关图上。

白噪声时间序列的可预测性:过去的时间序列值(历史数据)是否有助于预测下一时刻的时间序列值?答案是某种程度上是有帮助的。历史数据可以用来估计正态分布的方差。这使我们能够得出一些结论,比如时间序列下一时刻的值大于或小于某个值的可能性。

总的来说,在白噪声序列中,序列中每个点的值的方差就是白噪声值服从的正态分布的方差。这种正态分布具有特定均值和方差,不会随着时间改变。因此,白噪声序列是具有恒定均值和方差的,由不相关的随机变量组成的序列。

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