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电磁场有限元Matlab解法

电磁场有限元Matlab 数值解法

摘要

有限元法(FEM)在电磁场的问题中十分有效，能帮我们解决很多电磁场的问

题。本文主要对电磁场的有限元方(FEM)法进行学习和研究，利用Matlab 进行

编程仿真，对特定问题进行求解，模拟仿真出在一定边界条件下的电势分布

图。该方法十分方便有效，能直观的得到我们想要的电势分布图。

0 引言

有限元的原理在数学上首先由R.Courant 于 1943 年提出，早期在力学中用

于结构分析。五十年代初期，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构

分析中最先的到应用，而有限元法(Finite Element Method)这一名称在20 世纪

60 年代由R.W.Clough 的首先提出。三十多年来，以变分原理为基础建立起来的

有限元法，因其理论依据的普遍性，不仅被广泛地应用于各种结构工程，而且作

为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域

中的问题，例如热传导、流体力学、空气动力学、机械零件强度分析等。1968 年

有限元法开始用于求解电磁场的问题，有限元方法在电磁场中的应用至今已有近

50 年的历史。

随着科学技术的发展，计算机性能得到提高，算法的不断被优化，有限元理

论及技术在电磁应用方面已愈加成熟并取得许多研究成果。有限元法作为一种强

有力的工程分析方法被广泛地应用于各种研究领域，有限元法同样是用于各类电

磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的最主要的数值方法，并且无一例外

地是构成各种先进、有效的计算软件包的基础。目前，有限元分析已成为计算机

辅助设计的一个重要组成部分。

1.有限元简介

有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂

的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据边界条件综合求解。由于

单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite

Element Method) 。

有限元法是以微分方程为基础的数值方法。最初主要是利用变分原理将微分

方程变为等价的变分方程，经改进的Ritz 法，则将微分方程的求解变为代数方

程的求解问题。由于并非任意的微分方程都能找到与其等价的变分方程，使得上

述形式的有限元法的应用受到了一定的限制。用加权余量的伽辽金法直接从微分

方程出发构造有限元方程，就可以突破变分原理的限制。

有限元最大的特点是：先通过各种适当的形式将求解域划分成有限个单元，

再在每个单元中构造分域基函数，利用Ritz 法或伽辽金法构造代数形式的有限

元方程。

有限元法的最大优点是其离散单元的灵活性。相对而言，有限元法可以更精

确地模拟各种复杂的几何结构，并通过选取样点的疏密情况来适应场分布的不同

情况，既能保证计算精度的要求，又不增加过大的计算量。另一优点是所形成的

有限元方程组的系数矩阵是稀疏的对称阵，这非常有利于代数方程组的求解。与

其他数值计算方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质

变异情况复杂的问题求解上有突出的优点，即方法应用不受边界形状和媒质性质

的限制，而且不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的，第二三类边界条件不

必作单独处理。此外离散点配置比较随意，并且取决于有限单元剖分密度和单元

插值函数的选取，可以获得令人满意的数值计算精度。有限元法还可以方便地编

写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合，适应计算功能延拓的需要，从

而构成各种高效能的计算软件包。有限元法的发展与应用前景令人瞩目。

2.有限元问题分析

所需求解的电场区域如图2-1 所示。该图描述的为屏蔽微带传输线结构。假

设边界上的即屏蔽导体上电势U=0,内导体即条带上电势U=1V，内部上部分介质

相对介电常数ε=1，电荷密度ρ=0，下部分介质相对介电常数ε=9，电荷密度ρ

=0。由于其几何结构是对称的，我们取其一半进行研究，如图2-2 所示。其中电

势在左边边界上由于对称分布在法向方向导数为0。

图2-1 求解区域 图2-2 等效求解区域

设求解区域长宽均为1，而条带处于1/4 位置且长度为1/4。

电势满足如下的方程：

   0 on 

 



=D on D

ˆ

n ()  0