第一类换元法三角函数专题

前置知识：

• 第一类换元法（凑微分法）
• 三角函数公式

前言

在使用第一类换元法做题时，常常会遇到一些包含三角函数的形式复杂的题，比如包含高次的三角函数或若干个三角函数组成分母等，在本篇文章对解题思路做一个简单的引导，也教大家一些做题的技巧。

普通的三角函数积分

题1： 计算$\int \tan xdx$

解：原式$=\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{\cos x}d(\cos x)=-\ln |\cos x|+C$

这一类题并不复杂，只需要简单地使用公式即可。

含高次三角函数的积分

题1： 计算$\int {\sin }^{4}x{\cos }^{3}xdx$

解：原式$=\int {\sin }^{4}x{\cos }^{2}x\cos xdx$

$=\int {\sin }^{4}x{\cos }^{2}xd(\sin x)$

$=\int {\sin }^{4}x(1-{\sin }^{2}x)d(\sin x)$

$=\int ({\sin }^{4}x-{\sin }^{6}x)d(\sin x)$

$=\frac{1}{5}{\sin }^{5}x-\frac{1}{7}{\sin }^{7}x+C$

题2： 计算$\int {\tan }^{5}x{\sec }^{3}xdx$

解：原式$=\int {\tan }^{4}x{\sec }^{2}x\tan x\sec xdx$

$=\int {\tan }^{4}x{\sec }^{2}xd(\sec x)$

$=\int ({\sec }^{2}x-1{)}^2{\sec }^{2}xd(\sec x)$

$=\int (\sec x^6-{\sec }^{4}x+{\sec }^{2}x)d(\sec x)$

$=\frac{1}{7}{\sec }^{7}x-\frac{2}{5}{\sec }^{5}x+\frac{1}{3}{\sec }^{3}x+C$

题3： 计算$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{5}xdx$

解：原式$=\int {\sin }^{2}x{\cos }^{4}x\cos xdx$

$=\int {\sin }^{2}x{\cos }^{4}xd(\sin x)$

$=\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x{)}^{2}d(\sin x)$

$=\int ({\sin }^{6}x-2{\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x)d(\sin x)$

$=\frac{1}{7}{\sin }^{7}x-\frac{2}{5}{\sin }^{5}x+\frac{1}{3}{\sin }^{3}x+C$

这类题目是纯三角函数的变换，先凑出一个$df(x)$，要通过公式将所有函数转化为同一个三角函数。主要的公式是${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$和$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$等，偶尔也会需要一些复杂的公式。

分母包含三角函数的积分

题1： 计算$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x}dx$

解：原式$=\int \frac{1}{{\tan }^{2}x+2}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$=\int \frac{1}{{\tan }^{2}x+2}\cdot {\sec }^{2}xdx$

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}{)}^2}d(\tan x)$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{1}{1+(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}{)}^2}d(\frac{\tan x}{\sqrt{2}})$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan \frac{\sqrt{2}\tan x}{2}+C$

题2： 计算$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x}dx$

解：原式$=\int \frac{1}{1+4{\tan }^{2}x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$=\int \frac{1}{1+4{\tan }^{2}x}\cdot {\sec }^{2}xdx$

$=\int \frac{1}{1+(2\tan x{)}^2}d(\tan x)$

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+(2\tan x{)}^2}d(2\tan x)$

$=\frac{1}{2}\arctan (2\tan x)+C$

题3： 计算$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\sin x}}dx$

解：原式$=\int \frac{{\cos }^{2}x}{\sqrt{\sin x}}\cos xdx$

$=\int \frac{1-{\sin }^{2}x}{\sqrt{\sin x}}d(\sin x)$

$=\int ({\sin }^{-\frac{1}{2}}x+{\sin }^{\frac{3}{2}}x)d(\sin x)$

$=2{\sin }^{\frac{1}{2}}x+\frac{2}{5}{\sin }^{\frac{5}{2}}x+C$

这类题目有时候还要借用一些其他的积分公式，如$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$。一般都是使用这些$x$在分母的积分公式。

包含三角函数的复合函数积分

题1： 计算$\int x\cos (x^2+2)dx$

解：原式$=\frac{1}{2}\int \cos (x^2+2)d(x^2+2)=\frac{1}{2}\sin (x^2+2)+C$

题2： 计算$\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$

解：原式$=2\int \sin \sqrt{x}d(\sqrt{x})=-2\cos \sqrt{x}+C$

题3： 计算$\int \cos (e^x){\sin }^3(e^x)e^{x}dx$

解：原式$=\int {\sin }^3(e^x)\cos (e^x)d(e^x)$

$=\int {\sin }^3(e^x)d(\sin e^x)$

$=\frac{1}{4}{\sin }^4(e^x)+C$

这类题目因为包含三角函数的复合函数，所以考察点一般在复合函数积分，对三角函数公式的掌握的考察相对较少，主要考察还是三角函数的一些简单运用。

总结

用第一类换元法做包含三角函数的积分题，不仅要掌握好第一类换元法的一些知识，还要能灵活运用三角函数公式。