数值逼近课程设计（2）——D1样条插值

问题背景

在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
该问题的方法很好地解决了第一问的龙格现象，得到的插值函数有着很好的性质。
样条的概念来自船体放样中中所用的木头长条。一条船的外曲线要求很光顺，又要通过一些点， 这些点称为型值点，工人技术人员就用这种样条来画曲线。两个相邻型值点之间的曲线，近似地为一个三次多项式。整个曲线通过各型值点处，其一阶导数、二阶导数是连续的。

数值演算

由matlab编写程序，利用D1样条插值函数在４到６之间的多项式表达式求值，得到的结果为：1.609770287689208
用D1样条插值得到的曲线为：

源代码

clear;clc;
format long
x=[1 2 3 4 6];
f=[log(1),log(2),log(3),log(4),log(6)];
f11=1;
f55=1/6;
f12=(f(2)-f(1))/(x(2)-x(1));
f23=(f(3)-f(2))/(x(3)-x(2));
f34=(f(4)-f(3))/(x(4)-x(3));
f45=(f(5)-f(4))/(x(5)-x(4));
f123=(f23-f12)/(x(3)-x(1));
f234=(f34-f23)/(x(4)-x(2));
f345=(f45-f34)/(x(5)-x(3));
f112=(f11-f12)/(x(1)-x(2));
f455=(f55-f45)/(x(5)-x(4));
for i=2:4
    u(i)=(x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));
    t(i)=(x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));
end
A=[2 1 0 0 0;u(2) 2 t(2) 0 0;0 u(3) 2 t(3) 0;0 0 u(4) 2 t(4);0 0 0 1 2];
b=6*[f112;f123;f234;f345;f455];
M=A\b;
s5=f(4)+(f(5)-f(4))/(x(5)-x(4))*(5-x(4))-(M(5)/6+M(4)/3)*(x(5)-x(4))*(5-x(4))+M(4)/2*(5-x(4))^2+(M(5)-M(4))/(x(5)-x(4))*(5-x(4))^3/6
X=linspace(1,2,100);
Y=f(1)+(f(2)-f(1))/(x(2)-x(1)).*(X-x(1))-(M(2)/6+M(1)/3)*(x(2)-x(1)).*(X-x(1))+M(1)/2.*(X-x(1)).^2+(M(2)-M(1))/(x(2)-x(1)).*(X-x(1)).^3/6;
plot(X,Y);
hold on;
X=linspace(2,3,100);
Y=f(2)+(f(3)-f(2))/(x(3)-x(2)).*(X-x(2))-(M(3)/6+M(2)/3)*(x(3)-x(2)).*(X-x(2))+M(2)/2.*(X-x(2)).^2+(M(3)-M(2))/(x(3)-x(2)).*(X-x(2)).^3/6;
plot(X,Y);
hold on;
X=linspace(3,4,100);
Y=f(3)+(f(4)-f(3))/(x(4)-x(3)).*(X-x(3))-(M(4)/6+M(3)/3)*(x(4)-x(3)).*(X-x(3))+M(3)/2.*(X-x(3)).^2+(M(4)-M(3))/(x(4)-x(3)).*(X-x(3)).^3/6;
plot(X,Y);
hold on;
X=linspace(4,6,200);
Y=f(4)+(f(5)-f(4))/(x(5)-x(4)).*(X-x(4))-(M(5)/6+M(4)/3)*(x(5)-x(4)).*(X-x(4))+M(4)/2.*(X-x(4)).^2+(M(5)-M(4))/(x(5)-x(4)).*(X-x(4)).^3/6;
plot(X,Y);
hold on;
legend('[1,2]','[2,3]','[3,4]','[4,6]');