数值分析复习要点、书中定理整理以及应当记忆的公式

复习要点

第一章复习要点

误差：绝对误差限、相对误差限、有效数字、数据误差对函数值的影响、四则运算的误差估计（例题：防止两个相近的数相减、防止除数过小的除法的运算）
数值稳定性：机器数系不用看
秦九韶算法：减少运算次数，简化运算步骤

第二章复习要点

课堂小结：

简单迭代格式：定理前两条件，能算和能验证收敛，根的搜索要有依据（一般用解析法和图解法来完成）
Newton迭代格式：局部收敛性定理（没用定理说明）、大范围收敛定理

期末小结：

简单迭代法：计算、收敛性分析
Newton迭代法会算：计算、收敛性分析、局部收敛性定理，已知重数的重根处理，大范围收敛定理

第三章复习要点

课堂小结：

Gauss消去法：列主元Gauss消去法、追赶法（会算）
范数：向量范数和矩阵范数基本定义和性质，三种常用范数的计算公式，向量范数的两个性质连续性和定价性证明（不需要掌握）方程组性态和误差估计（右端向量有扰动、系数矩阵有扰动的情况下的推导、余量定理的推导、条件数、2条件数和无穷条件数会算），范数的计算、矩阵的计算，证明和推导不要求，范数的性质（对称矩阵的二范数怎样，矩阵范数可以作为的上界）证明要会（第四条和第五条性质要会），矩阵的幂次的形成的序列收敛于0 的充分必要条件是谱半径小于1，掌握结论就好。 范数要求很高。
迭代法：计算要求Jacobi和Gauss-seidel迭代格式，能写出格式，按规范计算。SOR计算不要求。收敛性：任何给的迭代格式都需要能够判断收敛性。最关键的是基本定理：把迭代格式写成矩阵格式，迭代格式的谱半径是判断其收敛性的唯一标准(充分必要条件)，谱半径小于1就是收敛的。还可以通过迭代矩阵的模小于1进行判断。 被求解的线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，一定可以得到Jacobi、Gauss-seidel格式都是收敛的（要会证明）。包括严格对角占优矩阵是非奇异的（也要掌握一下），里面结合 奇异矩阵和齐次方程根的关系，结合无穷范数、结合了严格对角占优矩阵。
幂法、反幂法：归一化算法能够计算。

期末小结：

Gauss消去：列主元Gauss消去法、追赶法
范数：定义、三种常用范数、误差分析的推导（不需要掌握的：范数的连续性和等价性证明）
迭代法：Jacobi迭代法的计算、Gauss-seidel迭代法的计算，任何迭代法的收敛性都得会
幂法(1016_0)：能够计算，幂法求最大特征根

第四章复习要点

课堂小结：

插值和逼近
Lagrange插值：插值多项式（背）、余项表示式（背）、利用公式建立给条件的lagrange多项式，用余项估计误差，余项的性质，余项定理证明不考（反复应用罗尔中值定理）。
差商和Newton插值多项式：导出过程可以不记（因式连乘积，思想对于Hermit插值的特殊形式和零点的分析（建议熟练掌握））、差商表计算，差商性质（尤其是第三条，和导数的关系）、Newton插值多项式要会写，余项估计不用特别记忆（遇到了直接使用Lagrange型即可）
Hermite插值：两种类型都得会（第一种，不缺条件标准的——列差商表，利用重节点差商；缺条件的（书后留作业了）），余项公式（背，不用掌握证明）。
高次插值的缺点：对于$f(x)$要求高，要求各阶导数都存在，有一致的界，否则会出现runge现象。解决方案：建立分段低次插值，能够根据给定条件，完成分段低次插值的建立以及误差分析。
分段线性插值和分段Hermite插值：建立和误差分析都要会。（想法：在小分段上分段的误差表达式（会用到Lagrange和Hermite插值余项，然后回头再大区间取最大值，找到误差）），不限于两种插值（考试出现过按照要求去构造，不局限与书上两种）
三次样条：定义（背：在每段上是三次多项式并且各段连起来后是一个二阶导连续的函数），不用背公式，需要掌握建立思想，看到公式（三弯矩方程组）要求会算。

区分的一致和平方的两个字
最佳一致逼近：连续函数（一般情况下只会考虑一阶最佳一致逼近(阶层高了非线性方程组很难解)），书后和留作业的题
最佳平方逼近：四种：内积的，连续函数的（要注意是一致逼近还是平方）、超定方程组的最小二乘解（m维向量空间里的平方逼近）、离散数据（包括非线性逼近的那种可以转化的形式）

期末小结：

高次插值缺点：对$f(x)$要求过高，各阶导数都存在，要有一次的界
Lagrange插值：插值多项式（背）、余项（背）会估计并且会使用
Newton插值：必须要会，建立，余项不用考虑，会计算插值、重节点插值
Hermit插值：会Newton型的，缺条件的插值（难点必会）

分段的一次插值：会建立插值、分析误差
分段线性插值
分段Hermit插值
三次样条：掌握思想（建立三次多项式：先建立一次多项式，求两次积分回来当三次多项式，对二阶导建立，使用导数连接性这样的条件来给出最后结果），不用背公式

逼近：
最佳一次逼近
最佳平方逼近：离散数据、超定方程组求解、连续函数的最佳平方逼近

第五章复习要点

课堂小结：

插值型求积公式：定义(三种)（深刻理解、几种等价定义：（本质的）根据给定的点做插值多项式，用插值多项式的积分来代替f的积分， 那个插值多项式的积分就是一个插值型求积公式），求出积分会发现、定距节点下的插值型求积公式（梯形公式、Simpson公式、Cetos公式）和代数精度（给定公式会求代数精度、根据代数精度达到最高能够确定参数），代数精度至少为n，表示为插值型的。
截断误差（实际有一个，但是写成了两个）：梯形和Simpson公式（有点特别）的
复化求积公式：根据截断误差，无法缩小跟区间长度有关，由此进行复化，给公式自己可以复化，进行先验和后验误差估计；复化求积公式的阶，复化梯形、复化Simpson如何计算。
Romberg求积公式: 复化后用后验误差补偿得到了Romberg，隐含了外推的思想。
Gauss公式：
去掉等距节点，只要代数精度达到最高，就是Gauss公式。定义（和代数精度的关系）。$-11$上的1点、2点Gauss公式要记住，$[-1,1]$与$[a,b]$区间的转换；带权积分的代数精度如何计算，如何找参数。
数值微分：
向前差商、向后差商、中心差商替代导数本身及误差，外推思想最好掌握。

需要背的：
梯形
Simpson
复化
Gauss上的1、2、3点公式

第六章复习要点

需要背的公式：

• Euler公式
• 后退Euler公式
• 梯形公式
• 改进Euler公式
• 两步两阶的Adams公式

需要了解的两种类型来构造求解公式：

• 基于数值积分(对于方程两端同时积分，对于f的积分用相应的数值求积公式来处理，积分产生误差，就是略去的小量，就是局部截断误差)
  • 单步方法
    • Euler
    • 后退Euler
    • 梯形
    • 一类问题：用一些点来构造插值多项式并且利用插值多项式来构造一个求解常微分方程的求解公式（作业第10题），积分产生的误差就是略去的小量
  • 多步方法
• 基于Talyor展开式（应用局部截断误差阶达到最高来给出求解公式里的参数来求局部截断误差）
  （确定局部阶段误差的阶数）
  • 二元函数的二阶泰勒展开式，能写能用，二级二阶Runger-kutta
  • Simpson公式的例题得会做
    会用计算器来快速算
• 注意一些定义：公式单步还是多步、几步几阶段、具有几阶精度、是不是相容的

第七章（要背的公式多一点）

复习小结：

要求：显式格式要求会计算两层，隐式格式会计算三层
抛物型方程：三个格式的建立和计算，如课后题3那种有些变形的格式也得会算（建立使用中心差商替代一阶导）；无穷范数下古典显隐格式稳定性和收敛性的证明，其他的了解即可；
双曲方程：显隐格式的建立和计算，隐格式计算考的概率小，隐格式建立时用到了平均公式，误差相对复杂，需要记忆，注意第一层的值如何估计，步长比的条件显格式 $s\le 1$；
椭圆性方程：格式建立和计算，计算不会超过4个点；（格式的分比计算的分数要高）

要背的公式

1、六个公式需要学会建立和推导，考过Crank-Nicolson格式的建立过程，过程会给分

具体的公式不用记背：抛物型三个公式、双曲型两个公式、椭圆型一个公式

• 抛物型
  • 古典显格式（计算可以不用矩阵，能够计算三层，初始层不算）
  • 古典隐格式（计算必须使用矩阵形式）
  • Richardson格式：完全不稳定的格式，无实用价值。
  • Crank-Nicolson格式（）
• 双曲型
• 椭圆性
  只要求建立格式和计算

稳定性

要记住无穷范数以及无穷范数下的稳定性和收敛性

需要能够证明的定理

定理2.1
当步长比$r<\frac{1}{2}$时，古典显格式关于$L_{\infty }$范数是稳定的；当$r>\frac{1}{2}$ 关于$L_{\infty }$范数是不稳定.
定理2.2
对任意步长比$r$,古典隐格式关于$L_{\infty }$范数是稳定的.

只需要掌握的

定理2.3
对任意步长比$r$,Crank-Nicolson 格式关于$L_2$范数稳定.
定理2.4
对于任意步长比$r$,Richardson格式关于$L_{\infty }$范数和$L_2$范数都是不稳定的.

收敛性

#闲谈： 偏微分方程的应用（考试不考）
偏微分方程是描述现实系统最重要的一类方程，多用一定的物理意义。以下对三种常见的偏微分方程及它们经常使用的领域进行介绍，前两个均为一维问题，第三个为二维问题。

• 抛物型方程
  $\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),& x\in (0,l),t\in (0,T)\\ u(x,0)=\phi (x),& x\in [0,l]\\ u(0,t)=\alpha (t),u(l,t)=\beta (t),& t\in [0,T]\end{array}$
  描述热传导问题和扩散问题；
• 双曲型方程
  $\{\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),& x\in (a,b),t\in (0,T)\\ u(x,0)=\phi (x),& u_t(x,0)=\psi (x),x\in [a,b]\\ u(a,t)=\alpha (t),& u(b,t)=\beta (t),t\in [0,T]\end{array}$
  描述波的传播和波动问题，空气动力学问题很多由此方程描述；
• 椭圆型方程
  $\{\begin{array}{ll}-\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)=f(x,y),& (x,y)\in \Omega \subset {\mathbf{R}}^2\\ u(x,y)=\phi (x,y),& (x,y)\in \Gamma \end{array}$
  典型的二维扩充方程，与时间没关系，又称作定长问题。随着时间会变化的叫作发展问题，多用于描述电磁场。

需要背诵的公式

第一章

函数值的误差
$e(y)=y^{\ast }-y=f（x_1^{\ast }-y_1^{\ast }）-f(x_1,x_2)$

第二章

$定理2.2.1条件$
1、当$x\in [a,b]时，\phi (x)\in [a,b]$
2、存在正常数$L<1$,使得$$\underset{a⩽x⩽b}{\max }\left|{\phi }^{\prime }(x)\right|⩽L<1$$

Newton迭代格式
$$x=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\prime }\left(x_k\right)}$$

第三章

向量范数
向量的$1-$范数：$$||x|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$
向量的$\infty -$范数：$$||x|{|}_{\infty }=\underset{a⩽x⩽b}{\max }|x_i|$$
向量的$2-$范数：$$||x|{|}_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

矩阵范数
(1)列模和 $$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_1=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\in {\mathbb{R}}^n}{x\ne 0}}{\max }\frac{\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}{\Vert }_1}{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1}=\underset{1⩽j⩽n}{\max }\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|$$
(2)行模和 $$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\max }\frac{\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}{\Vert }_{\infty }}{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }}=\underset{1⩽i\le n}{\max }\sum _{j=1}^n\left|d_{ij}\right|$$
(3) $$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2=\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\max }\frac{\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}{\Vert }_2}{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2}=\sqrt{\rho \left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)}$$
余量定理
$$\frac{||x^{\ast }-x||}{||x^{\ast }||}\le cond(A)\frac{||r||}{||b||}$$

第四章

Lagrange插值多项式
$$L_n(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left(x_k\right)l_k(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left(x_k\right)\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=0}{i\ne k}}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$$

其中 $l_k(x)$ 为$n$次插值问题的（第$k$个）基本插值多项式；
$l_0，l_1，\dots \dots ，l_n$为$n$次Lagrange插值基函数。
插值余项
设$f(x)$在包含（$x+1$）个互异节点 $x_0,x_1,\dots \dots ,x_n$的区间$[a,b]$上具有$n$阶连续导数，且在$(a,b)$内存在$(n+1)$阶导数，那么，对于$[a,b]$上的每一点$x$必存在一相应的点$$R_n(x)\doteq f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{W}_{(n+1)}(x)$$
其中$$W_{n+1}(x)=\prod _{i=0}^n\left(x-x_i\right)$$
Newton插值多项式
$\begin{array}{rl}{N}_n(x)=& f\left[x_0\right]+f\left[x_0,x_1\right]\left(x-x_0\right)+f\left[x_0,x_1,x_2\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\\ & +\cdots +f\left[x_0,x_1,\cdots ,x_n\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots \left(x-x_{n-1}\right)\end{array}$
Hermite插值余项
$$R_m(x)=f(x)-H_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi )}{(m+1)!}\prod _{i=0}^n{\left(x-x_i\right)}^{m_i+1}$$
注：表达式中 $(x-x_i)$ 的指数 $(m_i+1)$ 正好为节点 $x_i$ 的重数。
重节点计算
公式中重节点计算
$$f\left[x_0,x_0\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left[x_0,x\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right)$$
$$f\left[x_0,\cdots ,x_0\right]=\underset{x_1\to x_0}{\lim }f\left[x_0,x_1,\cdots ,x_k\right]=\underset{x_1\to x_0}{\lim }\frac{f^{(k)}(\eta )}{k!}=\frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k!}$$
$$\begin{array}{rl}f\left[x_0,x_0,x_1\right]& =\underset{x\to x_0}{\lim }f\left[x,x_0,x_1\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left[x_0,x_1\right]-f\left[x,x_0\right]}{x_1-x}\\ & =\frac{f\left[x_0,x_1\right]-f\left[x_0,x_0\right]}{x_1-x_0}\end{array}$$

3次样条函数定义：设在区间$[a,b]$上给定$(n+1)$个插值节点
$$a=x_0<x_1<\dots \dots <x_n=b$$
及其函数$f(x)$相应的值$y_0=f(x_0),y_1=f(x_1),y_2=f(x_2),\dots \dots ,y_n=f(x_n)$。若函数$S(x)$满足：
1°$S(x)$在每一个小区间$[x_j,x_{j+1}]$上是3次多项式，$j=0,1,\dots \dots ,n-1$
2°$S(x)$在$[a,b]$上有连续2阶导数，则称$S(x)$为3次样条函数，如果$S(x)$还满足$$S(x_j)=y_j,j=0,1,2,\dots \dots ,n$$
则称$S(x)$为3次样条插值函数。

第五章

插值型求积公式

（插值型求积公式至少具有n次代数精度）
梯形公式：$$T(f)=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$
截断误差：$R_T(f)=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\eta ),\eta \in (a,b)$
Simpson公式：$$S(f)=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]$$
截断误差：$R_S(f)=-\frac{b-a}{180}(\frac{b-a}{2}{)}^4{f}^{(4)}(\eta ),\eta \in (a,b)$
Romberg公式：具有7次代数精度，截断误差为$O(h^8)$
Gauss求积公式与复化相比，不再取等距节点。
$1$点$Gauss$公式：1次代数精度
$${\int }_{-1}^{1}g(t)dt\approx 2g(0)$$
$2$点$Gauss$公式：3次代数精度
$${\int }_{-1}^{1}g(t)dt\approx g(-\frac{1}{\sqrt{3}})+g(\frac{1}{\sqrt{3}})$$
区间[a,b]转换至[-1.1]上：

作变换$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t$

而后$x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}{t}_k$，$A_k=\frac{b-a}{2}\widetilde{A_k}(k=0,1,2,\cdots ,n)$

带权积分：对于任一权函数，一般采用待定系数法来求解。

第六章

Euler方法

Euler公式：$y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i)$
局部截断误差：$R_{i+1}=\frac{1}{2}{h}^2{y}^{\prime \prime }({\xi }_i)(x_i<{\xi }_i<x_{i+1})$

后退Euler方法

后退Euler公式：$y_{i+1}=y_i+hf(x_{i+1},y_{i+1})$
局部截断误差：$R_{i+1}=-\frac{1}{2}{h}^2{y}^{\prime \prime }({\xi }_i)(x<{\xi }_i<x_{i+1})$

梯形公式

$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})](i=0,1,\cdots ,n)$
局部截断误差：$R_{i+1}=-\frac{1}{12}{y}^{\prime \prime \prime }({\xi }_i)h^3(x_i<{\xi }_i<x_{i+1})$

预测校正系统与改进Euler

$\{\begin{array}{l}{y}_i^{(p)}=y_i+hf\left(x_i,y_i\right)\\ y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}\left[f\left(x_i,y_i\right)+f\left(x_{i+1},y_{i+1}^{(p)}\right)\right]\end{array}$
预测校正系统的截断误差求解时，通过补-减的方式形成[校正误差+用拉格朗日中值定理后可得的预测误差]
整体截断误差：$E(h)$ 考试的时候需要说明一下求解公式是多少阶的（1分）
如果一个求解公式的局部截断误差为$R_{i+1}=O(h^{p+1})$,则称该求解公式是$p$阶的，或称具有$p$阶精度。

Runge-Kutta

依据：
1、二阶函数的二阶泰勒展开式
2、全导数与偏导数的关系
注：证明是多少阶公式时，可以使用Buther的结论，说明所能达到的最高阶数为多少

线性多步法

两步两阶Adams公式：当$r=1$时，得公式：
$$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[3f(x_i,y_i)-f(x_{i-1},y_{i-1})]$$
$$R_{i+1}=\frac{5}{12}{h}^3{y}^3({\xi }_i),{\xi }_i\in (x_{i-1},x_{i+1})$$

第七章

向前差商代替一阶导：
$$g^{\prime }(x_0)=\frac{1}{h}[g(x_0+h)-g(x_0)]-\frac{h}{2}{g}^{\prime \prime }({\xi }_1)(x_0<{\xi }_1<x_0+h)$$
向后差商代替一阶导：
$$g^{\prime }(x_0)=\frac{1}{h}[g(x_0)-g(x_0-h)]+\frac{h}{2}{g}^{\prime \prime }({\xi }_2)(x_0-h<{\xi }_2<x_0)$$
中心差商代替一阶导：
$$g^{\prime }(x_0)=\frac{1}{h}[g(x_0+\frac{h}{2})-g(x_0-\frac{h}{2})]-\frac{h^2}{2}{g}^{\prime \prime \prime }({\xi }_3)(x_0-\frac{h}{2}<{\xi }_3<x_0+\frac{h}{2})$$
中心差商代替二阶导：
$$g^{\prime \prime }(x_0)=\frac{1}{h^2}[g(x_0+h)-2g(x_0)+g(x_0-h)]-\frac{h^2}{12}{g}^{(4)}({\xi }_4)(x_0-h<{\xi }_4<)$$
平均公式
$$g(x_0)=\frac{1}{2}[g(x_0+h)+g(x_0-h)]-\frac{h^2}{2}{g}^{\prime \prime }({\xi }_5)(x_0-h<{\xi }_5<x_0+h)$$

书中定理整理

第二章

简单迭代法

定理2.2.1 (根的存在性和收敛性外加三个误差估计)
设$x\in [a,b],\phi (x)\in [a,b]$;
定理2.2.2 (迭代格式发散 L＞1)
定义2.2.1 局部收敛
定理2.2.3 局部收敛性的判断(L是否小于1)
定义2.2.2 迭代法的收敛速度：p阶收敛、线性收敛（$p=1$且$0<|C|<1$）、超线性收敛($p>1$)、平方收敛（p=2）
定理2.2.4 收敛阶，p阶收敛

Newton法

定理2.3.1 大范围收敛定理

第三章

定理3.2.1 ：Gauss消去能够进行的条件，顺序主子式均不为零

向量范数

定义3.4.1：向量范数的定义和3个性质
定理3.4.1：向量范数的连续性
定义3.4.1：向量范数等价的定义
定理3.4.2：向量范数的等价性
定义3.4.3：范数表示距离$||x-y||$表示 $x$ 和 $y$ 之间的距离。
定义3.4.4：向量序列序列的收敛性

矩阵范数

定义3.4.5：矩阵范数的定义（称书上的范数定义为矩阵算子范数）和5个性质
矩阵范数的具体计算
定义3.4.6：矩阵谱半径的定义：矩阵特征值的绝对值的最大值。
定理3.4.3：矩阵范数的计算，1范数为列模和，无穷范数为行模和，2范数为谱半径开根号
定理3.4.4（会证：利用对称矩阵性质）：对称矩阵的谱半径等于其二范数
定理3.4.5（会证：利用相容性）：谱半径小于等于任意范数，即任一范数可以作为矩阵特征值的上界
定理3.4.6：矩阵范数的等价性
定义3.4.7：范数表示距离$||A-B||$
定义3.4.8：矩阵范数序列的收敛性
定理3.4.7：一矩阵各幂次得到矩阵序列收敛于零矩阵的充分必要条件是谱半径小于1

方程组的性态及条件数

定义3.4.9：条件数的定义$cond(A)=||A^{-1}||||A||$
无穷条件数：$cond(A{)}_{\infty }=||A^{-1}|{|}_{\infty }||A|{|}_{\infty }$
A的谱条件数：$cond(A{)}_2=||A^{-1}|{|}_2||A|{|}_2=\sqrt{\frac{{\lambda }_{max}(A^{T}A)}{{\lambda }_{min}(A^{T}A)}}$
当A为对称正定矩阵时$cond(A{)}_2=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_n}$
定义3.4.10：方程组的性态判断。若条件数远大于1，称方程组病态

定理3.4.8：（来源于近似解相对误差的估计式较难计算）余量定理，余量$r=b-Ax$

迭代格式的收敛性

定理3.5.1：收敛的条件（依据定理3.4.7）——迭代格式 $x^{k+1}=B{x}^k+f$ 收敛的充分必要条件为 $\rho (B)\le 1$
定理3.5.2：范数用于判断收敛性——若$||B||\le 1$,则迭代格式是收敛的。
定义3.5.1：严格对角占优定义
按行严格对角占优：$$\left|a_{ii}\right|>\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{i\ne j}}^n\left|a_{ij}\right|(i=1,2,\cdots ,n)$$
按列严格对角占优：$$\left|a_{jj}\right|>\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1}{j\ne i}}^n\left|a_{ij}\right|(i=1,2,\cdots ,n)$$
引理3.5.1：对角占优矩阵的性质——设A是严格对角占优的，则$|A|\ne 0$
定理3.5.3：Jacobi系数矩阵严格对角占优也收敛（证明用引理3.5.1）——给定线性方程组$Ax=b$,如果A是严格对角占优矩阵，则Jacobi迭代格式收敛。
定理3.5.4：Gauss-seidel系数矩阵严格对角占优也收敛（证明用引理3.5.1）——给定线性方程组$Ax=b$,如果A是严格对角占优矩阵，则Gauss-seidel迭代格式是收敛的。

SOR格式的收敛性
定理3.5.5：SOR方法收敛的必要条件是$0<\omega <2$
定理3.5.6：给定线性方程组$Ax=b$,如果A是对称正定矩阵，且$0<\omega <2$，则SOR方法收敛。

幂法和反幂法

定理3.6.1：$m_k$收敛于主特征值,$u_k$收敛于归一化后的向量
注：用$A^{-1}$代替$A$作幂法计算，称为反幂法

第四章

Lagrange插值

定理4.1.1：满足插值条件的$n$次多项式是唯一的。
定理4.1.2：Lagrange插值余项的定义。

Newton插值

因为Lagange插值在确定 $L_k(x)$ 时无法利用已算出的 $L_{k-1}(x)$ 由此建立Newton插值
定义4.2.1：差商定义，为了计算 $a_k$
性质4.2.1：k阶差商由函数值$f(x_0),f(x_1),\dots \dots ,f(x_k)$线性组合而成，即为$a_k$s
$f\left[x_0,x_1,\cdots ,x_k\right]={\sum }_{m=0}^k\frac{f\left(x_m\right)}{{\prod }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=0}{i\ne m}}^k\left(x_m-x_i\right)}$
性质4.2.2：差商具有对称性，即在$k$阶差商$f[x_0,x_1,\dots \dots ,x_k]$中任意交换2个节点$x_1$和$x_m$的次序，其值不变。
性质4.2.3：$k$阶差商和$k$阶导数之间有如下重要关系
$$f\left[x_0,x_1,\cdots ,x_k\right]=\frac{f^{(k)}(\eta )}{k!}$$
定义4.2.2：差分定义

Hermite插值

所在插值节点不仅函数值相等，而且这些点上的若干阶导数值也相等。
定义4.3.1：Hermite插值多项式定义
定理4.3.1：满足插值条件的$m$次多项式$H_m(x)$是唯一存在的
定理4.3.2：Hermite插值余项的定义
定理4.3.3：重节点差商，差商的积分表达式

分段低次插值

分段线性插值
分段线性插值的余项值依赖于$f(x)$的2阶导数的解，只要$f(x)$在$[a.b]$上存在2阶连续导数，当$h\to 0$时就有分段线性插值余项一致趋于零。
插值基函数：$L_{1,i}(x)=f\left(x_i\right)+f\left[x_i,x_{i+1}\right]\left(x-x_i\right),x\in \left[x_i,x_{i+1}\right]$
余项：$$\underset{a⩽x⩽b}{\max }|f(x)-{\tilde{L}}_1(x)|\le \frac{1}{8}{h}^2\underset{a⩽x\le b}{\max }\left|f^{\prime \prime }(x)\right|$$
分段Hermie插值
分段3次$Hermite$插值的余项只依赖于4阶导数的界。只要$f(x)$在$[a,b]$上存在4阶连续导数，则当$h\to 0$时就有分段3次$Hermite$插值余项一致趋于零。
插值基函数：
$\begin{array}{rl}{H}_{3,i}=& f\left(x_i\right)+f^{\prime }\left(x_i\right)\left(x-x_i\right)+\frac{f\left[x_i,x_{i+1}\right]-f^{\prime }\left(x_i\right)}{h_i}{\left(x-x_i\right)}^2\\ & +\frac{f^{\prime }\left(x_{i+1}\right)-2f\left[x_i,x_{i+1}\right]+f^{\prime }\left(x_i\right)}{h_i^2}{\left(x-x_i\right)}^2\left(x-x_{i+1}\right)\end{array}$
余项：$$\underset{x⩽x⩽b}{\max }\left|f(x)-H_3(x)\right|⩽\frac{1}{384}{h}^4\underset{a⩽x⩽b}{\max }\left|f^{(4)}(\ast x)\right|$$

三次样条插值
解决高次插值计算复杂不收敛，分段插值光滑性差的问题，实质上是分段多项式的光滑连续。
3次样条插值函数：
1、$S(x)$在每一个小区间$[x_j,x_{j+1}]$上是3次多项式，$j=0,1,\dots \dots ,n-1$
2、$S(x)$在$[a,b]$上有连续2阶导
$S(x_j)=y_j,j=0,1,2,\dots \dots ,n$
原始的构造方法：
设$S(x)=A_j+B_{j}x+C_j{x}^2+D{x}^3(j=0,1,\dots \dots ,n-1)$
其中$A_j,B_j,C_j,D_j$待定，并满足下列条件：
（1）插值条件 $S(x_j)=y_j(j=0,1,\dots \dots ,n)$
（2）连接条件$$\{\begin{array}{l}S\left(x_j-0\right)=S\left(x_j+0\right)\\ S^{\prime }\left(x_j-0\right)=S^{\prime }\left(x_j+0\right);\\ S^{\prime \prime }\left(x_j-0\right)=S^{\prime \prime }\left(x_j+0\right)\end{array}(j=1,2,\cdots ,n-1)$$
附加的条件：通常情况是给出区间端点上的性态，简称边界条件
①已知两端点处$f(x)$的1阶导数值，令
$$S^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)，S^{\prime }(x_n)=f^{\prime }(x_n)$$
②已知两端点处$f(x)$的2阶导数值，令
$$S^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)，S^{\prime \prime }(x_n)=f^{\prime \prime }(x_n)$$
若令$S^{\prime \prime }(x_0)=0，S^{\prime \prime }(x_0)=0$，则称为自然边界条件。
③当$f(x_0)=f(x_n)$时，令
$$S^{\prime }(x_0)=S^{\prime }(x_n)，S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)$$
定义4.5.1：3次样条插值函数
三弯矩方程组

定理4.5.1：3次样条插值收敛性判断

最佳一致逼近

逼近与插值的区别：在整个所考虑的区间上误差近可能的小。
定义4.7.2：线性赋范空间
定义4.7.3：$||x-y||$为$x$和$y$之间的距离
定义4.7.4：最佳逼近元
定义4.7.5：$n$次最佳一致逼近多项式
定理4.7.1：最佳一致逼近的多项式的唯一性
定义4.7.6：偏差点
引理4.7.1：最佳一致逼近多项式必同时存在正负偏差点
定理4.7.2：最佳一致多项式的特征定理
推论4.7.1：如果$f^{(n+1)}(x)$在$[a,b]$内存在且保号（保持恒正或恒负），则$f(x)-p(x)$在$[a,b]$内恰有$(n+2)$个交错点，且两端点$a,b$都是偏差点。
推论4.7.2：设$f(x)\in C[a,b]$,则$f(x)$的n次最佳一致逼近多项式$p_n(x)$为$f(x)$的某一个n次插值多项式

最佳平方逼近

定义4.8.1：内积
定义4.8.2：正交
引理4.8.1：柯西斯瓦刺不等式
引理4.8.2：正规方程组的系数矩阵是正定的
定理4.8.1：正规方程组存在唯一解
定理4.8.2：正规方程组的唯一解符合条件
定义4.8.3：m次最佳平方逼近多项式
定义4.8.4：拟合函数

第五章

插值型求积公式

定义5.2.1：插值型求积公式
定义5.2.2：Newton-Cotes公式
定义5.2.3：代数精度
定理5.2.1：求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是该公式为插值型的
定理5.2.2：求积公式具有m次代数精度的充分必要条件为该公式对$f(x)=1,x,\dots \dots ,x^n$是精确成立的，而对$f(x)=x^{m+1}$不精确成立。
代数精度说明：当$n$为奇数时，$Newton-Cotes$公式的代数精度为$n$,当$n$为偶数时，$Newton-Cotes$公式的代数精度为$(n+1)$
定义5.2.4：求积公式的稳定性

复化求积公式

定义5.3.1：复化求积公式的阶
复化梯形和复化Simpson分别是2阶、4阶和6阶的(依据先验误差估计式而来)

Romberg求积公式

Gauss求积公式

定义5.5.1：代数精度为$(2n+1)$的求积公式，相应的求积节点为$Guass$点。
定理5.5.1：Gauss点的充分必要条件。
定义5.5.2：正交多项式序列和n次正交多项式。
定理5.5.2：正交多项式序列任意之间为线性无关的。
定理5.5.3：n次正交多项式$g_n(x)$在$(a,b)$上有$n$个互异的零点。
定义5.5.3：
$$P_n(t)=\frac{1}{2^{n}n}\frac{d^n(t^2-1{)}^n}{d{t}^n}(n=0,1,2,\cdots )$$
$Legendre$多项式
定理5.5.4：$Legendre$多项式是区间$[-1,1]$上的正交多项式序列。

定理5.5.5：若$f(x)\in C^{2n+2}[a,b]$，则其$Gauss$公式
$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$
$Gauss$公式的截断误差为$$R(f)={\int }_a^{b}f(x)dx-\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x)=\frac{f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}{\int }_a^b{W}_{n+1}^2(x)dx$$
其中$W_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n),\xi \in (a,b)$
推论5.5.1：设有计算$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx$的求积公式
$$I_n(f)=\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$
则其代数精度最多为$(2n+1)$。
定义5.5.4：设有计算积分$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx$的求积公式
$$I_n(f)=\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$
如果其代数精度达到最高，则称该求积公式为$Gauss$公式，相应的求积节点称为$Gauss$点
定理5.5.6：Gauss公式的求积系数全是正的
定理5.5.7：Gauss公式是稳定的
定理5.5.8：Gauss公式均收敛

历年题型总结

第一题
1、计算一个函数的绝对误差和相对误差限
2、计算一个迭代式的稳定性
步骤

• 建立算法：
• 写出带有初始误差的算法
• 设出误差，写出误差递推公式
• 寻找$e_n$与$e_0$的关系

3、秦九韶算法
第二题
1、给一个式子搜索出根的个数并利用迭代格式计算出结果，分析所构造迭代格式的收敛性
第三题
1、列主元消去法求解线性方程组的解
2、追赶法求解

第四题
1、根据Jacobi或者Gauss-seidel格式迭代求解，并分析收敛性
2、给定一个格式，求参数，并分析构造格式的收敛性
3、幂法算主特征值（实矩阵按模最大的特征值）
第五题
1、Hermite插值缺条件的类型
有两种解法：法一：先建立低次的然后使用分析零点和待定系数来确定对应次数的。
法二：依据差商表，将未知的设出来，然后用已知条件建立方程计算。
法三：依据零点分析和插值的次数设出方程通式，然后带入条件，求解方程组，适用缺多个条件的情况。
第六题
1、最佳一次一致逼近：两个条件保持无穷范数最小
2、最佳平方逼近：
①连续函数的最佳平方逼近：一个函数积分的最小值
②超定线性方程的最小二乘解
③离散数据的最佳平方逼近
第七题
1、求代数精度最高时的参数
2、复化求积公式先验估计（利用介值定理$$\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{\prime }({\eta }_k)=f^{\prime \prime }(\eta )，nh=b-a$$）
第八题
1、求阶段误差最小时的参数
2、求解使用数值形式的代数解

第九题
1、六种格式中选一种，计算值，并分析稳定性和收敛性