张氏相机标定法与绝对二次曲线的联系

Introduction

相信很多人在看张正友教授的经典论文：A flexible new technique for camera calibration的时候，都会遇到一个问题，就是在2.4 Geometric Interpretation 部分，会发现看不懂，因为涉及到一个新的概念：Absolute Conic（绝对二次曲线）。
一个通用的解决方法是去看Multiple view Geometry那本书，如果不想去花太多时间，可以看看我的一个总结。

Absolute Conic ${\Omega }_{\infty }$

这个概念是问题的关键，翻译过来叫做绝对二次曲线。
二次曲线大家都不陌生，是指如椭圆、双曲线等二次曲面与平面的交线，在射影几何中，他们可以和一个对称矩阵一一对应，也就是代数表示，这边可以参考传送门。

AC作为二次曲线有两个很特殊的点：

• 他在无穷远平面上
• 他由虚数点构成

首先，因为他在无穷远平面$\pi =(0,0,0,1)$上，所以构成他的点$x=(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^T$满足
$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2+x_3^2=0 \\ {x}_4=0 \end{gathered}$$
所以他是由虚数点构成的。
由二次曲线与点的公式$x^{T}Cx=0$，我们可以发现AC对应的矩阵是单位阵$C=I$。

考虑摄像机矩阵对AC的作用

先考虑无穷远点$x=(d^T,0{)}^T$，摄像机矩阵为：$P=K[R|t]$，我们有：

所以这其实是一个单应变换，在这个变换下，AC就变为：

这就是绝对二次曲线的像。

与张氏标定法的联系

张氏标定法的核心是这两个式子：

我们就可以看到他其实是在用单应来确定IAC，一旦IAC确定后，相机的标定参数就可以给出，从而完成标定。