毕业设计之 ---退火算法和路径优化

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前言

毕设帮助，开题指导，资料分享，疑问解答(见文末)

模拟退火是一个通用的全局最优化算法。 常用在毕设项目中，比如最优路径的寻找等等。 什么是全局最优化解呢，可以打个比方：
一个锅底凹凸不平有很多坑的大锅，晃动这个锅使得一个小球使其达到全局最低点。一开始晃得比较厉害，小球的变化也就比较大，在趋于全局最低的时候慢慢减小晃锅的幅度，直到最后不晃锅，小球达到全局最低。

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本文章将向大家介绍退火算法的原理以及实现方法，并且在路径优化问题上进行应用，对该算法不理解以及需要源码及帮助的同学可以Q学长。

1 退火算法原理

1.1 物理背景

在热力学上，退火（annealing）现象指物体逐渐降温的物理现象，温度愈低，物体的能量状态会低；够低后，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。大自然在缓慢降温（亦即，退火）时，可“找到”最低能量状态：结晶。但是，如果过程过急过快，快速降温（亦称「淬炼」，quenching）时，会导致不是最低能态的非晶形。

如下图所示，首先（左图）物体处于非晶体状态。我们将固体加温至充分高（中图），再让其徐徐冷却，也就退火（右图）。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小（此时物体以晶体形态呈现）。

1.2 背后的数学模型

如果你对退火的物理意义还是晕晕的，没关系我们还有更为简单的理解方式。想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变数,k为Boltzmann常数。Metropolis准则常表示为

Metropolis准则表明，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。所以P和T正相关。这条公式就表示：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（因为退火的过程是温度逐渐下降的过程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。也就是说，在用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值 f，温度T演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火演算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或丢弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子Δt 、每个 t 值时的迭代次数L和停止条件S。

2 退火算法实现

2.1 算法流程

(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
(3) 产生新解S′
(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2

2.2算法实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random

class SA(object):

    def __init__(self, interval, tab='min', T_max=10000, T_min=1, iterMax=1000, rate=0.95):
        self.interval = interval                                    # 给定状态空间 - 即待求解空间
        self.T_max = T_max                                          # 初始退火温度 - 温度上限
        self.T_min = T_min                                          # 截止退火温度 - 温度下限
        self.iterMax = iterMax                                      # 定温内部迭代次数
        self.rate = rate                                            # 退火降温速度
        #############################################################
        self.x_seed = random.uniform(interval[0], interval[1])      # 解空间内的种子
        self.tab = tab.strip()                                      # 求解最大值还是最小值的标签: 'min' - 最小值；'max' - 最大值
        #############################################################
        self.solve()                                                # 完成主体的求解过程
        self.display()                                              # 数据可视化展示

    def solve(self):
        temp = 'deal_' + self.tab                                   # 采用反射方法提取对应的函数
        if hasattr(self, temp):
            deal = getattr(self, temp)
        else:
            exit('>>>tab标签传参有误："min"|"max"<<<')
        x1 = self.x_seed
        T = self.T_max
        while T >= self.T_min:
            for i in range(self.iterMax):
                f1 = self.func(x1)
                delta_x = random.random() * 2 - 1
                if x1 + delta_x >= self.interval[0] and x1 + delta_x <= self.interval[1]:   # 将随机解束缚在给定状态空间内
                    x2 = x1 + delta_x
                else:
                    x2 = x1 - delta_x
                f2 = self.func(x2)
                delta_f = f2 - f1
                x1 = deal(x1, x2, delta_f, T)
            T *= self.rate
        self.x_solu = x1                                            # 提取最终退火解

    def func(self, x):                                              # 状态产生函数 - 即待求解函数
        value = np.sin(x**2) * (x**2 - 5*x)
        return value

    def p_min(self, delta, T):                                      # 计算最小值时，容忍解的状态迁移概率
        probability = np.exp(-delta/T)
        return probability

    def p_max(self, delta, T):
        probability = np.exp(delta/T)                               # 计算最大值时，容忍解的状态迁移概率
        return probability

    def deal_min(self, x1, x2, delta, T):
        if delta < 0:                                               # 更优解
            return x2
        else:                                                       # 容忍解
            P = self.p_min(delta, T)
            if P > random.random(): return x2
            else: return x1

    def deal_max(self, x1, x2, delta, T):
        if delta > 0:                                               # 更优解
            return x2
        else:                                                       # 容忍解
            P = self.p_max(delta, T)
            if P > random.random(): return x2
            else: return x1

    def display(self):
        print('seed: {}\nsolution: {}'.format(self.x_seed, self.x_solu))
        plt.figure(figsize=(6, 4))
        x = np.linspace(self.interval[0], self.interval[1], 300)
        y = self.func(x)
        plt.plot(x, y, 'g-', label='function')
        plt.plot(self.x_seed, self.func(self.x_seed), 'bo', label='seed')
        plt.plot(self.x_solu, self.func(self.x_solu), 'r*', label='solution')
        plt.title('solution = {}'.format(self.x_solu))
        plt.xlabel('x')
        plt.ylabel('y')
        plt.legend()
        plt.savefig('SA.png', dpi=500)
        plt.show()
        plt.close()


if __name__ == '__main__':
    SA([-5, 5], 'max')

实现结果

3 退火算法在路径优化上的应用

3.1 目标路径优化

采用栅格图法构建地图。首先用列表创建一个10*10的矩阵，矩阵元素中值分别表示不同的涵义，数值不同含义不同，具体解释在下面代码中有注释。然后利用matplotlib包中的pylab库，把矩阵用热力图的形式画出来。具体操作如下代码所示：

#step1 路径规划地图创建
class Map():
    def __init__(self):
        #10 是可行 白色
        # 0 是障碍 黑色
        # 8 是起点 颜色浅
        # 2 是终点 颜色深
        self.data = [[ 8,10,10,10,10,10,10,10,10,10],
                     [10,10, 0, 0,10,10,10, 0,10,10],
                     [10,10, 0, 0,10,10,10, 0,10,10],
                     [10,10,10,10,10, 0, 0, 0,10,10],
                     [10,10,10,10,10,10,10,10,10,10],
                     [10,10, 0,10,10,10,10,10,10,10],
                     [10, 0, 0, 0,10,10, 0, 0, 0,10],
                     [10,10, 0,10,10,10, 0,10,10,10],
                     [10,10, 0,10,10,10, 0,10,10,10],
                     [10,10,10,10,10,10,10,10,10, 2]]
	    plt.imshow(self.data, cmap=plt.cm.hot, interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10)
	    # plt.colorbar()
	    xlim(-1, 10)  # 设置x轴范围
	    ylim(-1, 10)  # 设置y轴范围
	    my_x_ticks = np.arange(0, 10, 1)#刻度列表
	    my_y_ticks = np.arange(0, 10, 1)
	    plt.xticks(my_x_ticks)#画刻度
	    plt.yticks(my_y_ticks)
	    plt.grid(True)
	    plt.show()#显示
map = Map()#实例化  并显示地图

上示代码运行后为原始地图，左下角黄色为起点，右上角为终点，黑色为障碍区域。

(实现代码太长了，这里就不发了，需要的找学长要)

最后结果

其他场景

毕设长用到该算法来解决各种最优解的问题，比如路径优化问题，快递\货物配送最优路径，等等。

旅行商问题，即TSP问题（Travelling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

展示迭代优化过程效果

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