想去的远方
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（西瓜书）简单线性回归公式推导

目录

 

一、线性回归概述：

二、数学知识储备：

三、证明损失函数  是关于 w 和 b 的凸函数 ：

四、求解 b :

五、求解 w :

 

一、线性回归概述：

 

给定数据集  D=\left \{ \left ( x_{1} , y_{1}\right ) , \left ( x_{2}, y_{2} \right ) , .... , \left ( x_{m}, y_{m} \right ) \right \}  ， 其中  x_{i}=\left ( x_{i1},x_{i2}, ... ,x_{id} \right ) ， y_{i}\in R ，线性回归试图学得：f\left ( x_{i} \right ) = w*x_{i} + b ，使得 f \left ( x_{i} \right ) \simeq y_{i}   .

回归任务中常使用均方误差来衡量 f(x) 与 y 之间的差别。使均方误差最小化得到的 w, b 即我们所求。（基于均方误差来进行模型求解的方法称为 “最小二乘法”）。

因此，由最小二乘法导出损失函数 E(w,b) 

E(w,b)    =     \sum_{i=1}^{m} \left ( y_{i} -f\left ( x_{i} \right )\right )^{2}

                =     \sum_{i=1}^{m} \left ( y_{i} -\left ( w*x_{i}+b \right )\right )^{2}

                =     \sum_{i=1}^{m} \left ( y_{i} - w*x_{i}-b \right )^{2}         （此即为西瓜书式 3.4  后面部分）

 

下面，我们先考虑一种最简单的情形：输入属性的数目只有一个。下面的推导均基于这种情形展开。

 

 

二、数学知识储备：

 

二元函数判断凹凸性：

设 f\left ( x,y \right ) 在区域 D 上具有二阶连续偏导数，记 A=f_{xx}^{''}\left ( x,y \right )  ,  B=f_{xy}^{''}\left ( x,y \right )  ,  C=f_{yy}^{''}\left ( x,y \right ) , 则：

  1.  在 D 上恒有 A>0 , 且 A*C - B^{2} \geq 0 时，f\left ( x,y \right ) 在区域 D 上是凸函数。
  2.  在 D 上恒有 A< 0 , 且 A*C - B^{2} \geq 0 时，f\left ( x,y \right ) 在区域 D 上是凹函数。

 

二元凹凸函数求最值：

设  f\left ( x,y \right )  是在开区域 D 内具有连续偏导数的凸函数（或凹函数），\left ( x_{0},y _{0} \right )\in D 且 f_{x}^{'}\left ( x_{0}, y_{0}\right )=0 , f_{y}^{'}\left ( x_{0}, y_{0}\right )=0  .  则 f\left ( x_{0}, y_{0}\right ) 必为 f\left ( x, y\right ) 在 D 内的最小值（或最大值） 

 

 

 

三、证明损失函数 E(w,b) 是关于 w 和 b 的凸函数 ：

 

（1）求  A=f_{xx}^{''}\left ( x,y \right )  ：

 

\frac{\partial E\left ( w,b \right )}{\partial w}    =     \frac{\partial }{\partial w}\left [ \sum_{i=1}^{m} \left (y _{i}-w*x_{i}-b \right )^{2} \right ]

                   =    \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial }{\partial w}\left (y _{i}-w*x_{i}-b \right )^{2}

                   =     \sum_{i=1}^{m} 2*\left (y _{i}-w*x_{i}-b \right )(-x_{i})

                   =           （此即为西瓜书式 3.5）

 

    \frac{ \partial ^{2} E \left ( w,b \right ) }{ \partial w^{2}}     =      \frac{\partial }{\partial w} \left (\frac{\partial E\left ( w,b \right )}{\partial w} \right )

                          =     \frac{\partial }{\partial w}           

                          =    \frac{\partial }{\partial w} \left [ 2* w*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2} \right ]   

                          =   2*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}  

此即为  A=f_{xx}^{''}\left ( x,y \right )  ，所以 在 D 上恒有 A>0

 

 

（2）求  B=f_{xy}^{''}\left ( x,y \right )  ：

 

    \frac{ \partial ^{2} E \left ( w,b \right ) }{ \partial w \partial b }     =      \frac{\partial }{\partial b} \left (\frac{\partial E\left ( w,b \right )}{\partial w} \right )

                          =    \frac{\partial }{\partial b}           

                          =     \frac{\partial }{\partial b} 

                          =     \frac{\partial }{\partial b}  \left ( -2* \sum_{i=1}^{m} y _{i}*x_{i} + 2* \sum_{i=1}^{m} b*x_{i} \right )

                          =     \frac{\partial }{\partial b}  \left ( 2* \sum_{i=1}^{m} b*x_{i} \right )

                          =   2*\sum_{i=1}^{m} x_{i}  

此即为  B=f_{xy}^{''}\left ( x,y \right ) .

 

 

（3）求  C=f_{yy}^{''}\left ( x,y \right )  ：

 

\frac{\partial E\left ( w,b \right )}{\partial b}    =     \frac{\partial }{\partial b}\left [ \sum_{i=1}^{m} \left (y _{i}-w*x_{i}-b \right )^{2} \right ]

                   =    \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial }{\partial b}\left (y _{i}-w*x_{i}-b \right )^{2}

                   =     \sum_{i=1}^{m} 2*\left (y _{i}-w*x_{i}-b \right )(-1)

                   =                （此即为西瓜书式 3.6）

 

    \frac{ \partial ^{2} E \left ( w,b \right ) }{ \partial b^{2}}     =      \frac{\partial }{\partial b} \left (\frac{\partial E\left ( w,b \right )}{\partial b} \right )

                          =     \frac{\partial }{\partial b}           

                          =    \frac{\partial }{\partial b} \left ( 2*m*b \right )   

                          =   2*m  

此即为    C=f_{yy}^{''}\left ( x,y \right ) .

 

 

（4）判断 A*C-B^{2} 的符号

 

至此，我们求得 :  A = 2*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}    ,   B = 2*\sum_{i=1}^{m} x_{i}  ,   C = 2*m

 

A*C-B^{2}      =           \left ( 2*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2} \right ) * \left ( 2*m\right )-\left ( 2*\sum_{i=1}^{m} x_{i} \right )^{2}   

                         =          4*m*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}-4*\left ( \sum_{i=1}^{m} x_{i}\right )^{2}

                         =         4*m*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}-4*m*\frac{1}{m}*\left ( \sum_{i=1}^{m} x_{i}\right )^{2}

                         =        4*m*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}-4*m*\bar{x} * \sum_{i=1}^{m} x_{i}

                         =       4*m*\left ( \sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2} - \sum_{i=1}^{m} x_{i}*\bar{x} \right )

                         =       4*m* \sum_{i=1}^{m}\left ( x_{i}^{2} - x_{i}*\bar{x} \right )

 

这里我们的目的是要证得  A*C-B^{2}  是否大于等于 0 ，所以我们下面要对上面的式子进行变形，以便判断符号。

 

因为：    \sum_{i=1}^{m} x_{i}*\bar{x}    =    \bar{x}*\sum_{i=1}^{m} x_{i}    =     \bar{x}*m*\frac{1}{m} * \sum_{i=1}^{m} x_{i}     =     m*\bar{x}^{2}     =     \sum_{i=1}^{m} \bar{x}^{2}

所以 ： 4*m* \sum_{i=1}^{m}\left ( x_{i}^{2} - x_{i}*\bar{x} \right )    =     4*m* \sum_{i=1}^{m}\left ( x_{i}^{2} - x_{i}*\bar{x} - x_{i}*\bar{x}+{\color{Red} x_{i}*\bar{x}} \right )

                                                        =     4*m* \sum_{i=1}^{m}\left ( x_{i}^{2} - x_{i}*\bar{x} - x_{i}*\bar{x}+{\color{Red} \bar{x} ^{2}}\right )

                                                        =     4*m* \sum_{i=1}^{m}\left ( x_{i} -\bar{x}\right )^{2}

 

所以     A*C-B^{2}  =    4*m* \sum_{i=1}^{m}\left ( x_{i} -\bar{x}\right )^{2}     >=    0   ,   也即损失函数 E(w,b) 是关于 w 和 b 的凸函数得证。

 

 

 

四、求解 b :

 

令一阶偏导数等于 0 解出 b ：

\frac{\partial E\left ( w,b \right )}{\partial b}    =           =    0

                                            =    0

                                                                               b   =   \frac{1}{m}           （此即为西瓜书式 3.8）

 

 

五、求解 w :

 

令一阶偏导数等于 0 解出 w ：

\frac{\partial E\left ( w,b \right )}{\partial w}    =           =     0

                                                                    w*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}       =         \sum_{i=1}^{m}\ y _{i} *x_{i} -\sum_{i=1}^{m}\ b*x_{i}

 

将   b   =   \frac{1}{m}      =     \frac{1}{m}* \sum_{i=1}^{m} y _{i}  - w* \frac{1}{m}* \sum_{i=1}^{m} x_{i}

                                                       =     \bar{y}-w*\bar{x}                                 ，带入上式得：

 

                                      w*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}       =         \sum_{i=1}^{m}\ y _{i} *x_{i} -\sum_{i=1}^{m}\ {\color{Red} b}*x_{i}

                                     w*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}       =         \sum_{i=1}^{m}\ y _{i} *x_{i} -\sum_{i=1}^{m}\ {\color{Red} \left ( \bar{y}-w*\bar{x} \right )} *x_{i}

                                     w*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}       =         \sum_{i=1}^{m} y _{i} *x_{i} - \bar{y}* \sum_{i=1}^{m}x_{i} + w* \bar{x} * \sum_{i=1}^{m} x_{i}

           w*\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}- w* \bar{x} * \sum_{i=1}^{m} x_{i}       =         \sum_{i=1}^{m} y _{i} *x_{i} - \bar{y}* \sum_{i=1}^{m}x_{i}

            w*\left ( \sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}- \bar{x} * \sum_{i=1}^{m} x_{i} \right )       =         \sum_{i=1}^{m} y _{i} *x_{i} - \bar{y}* \sum_{i=1}^{m}x_{i}

                                                      w     =        \frac{\sum_{i=1}^{m} y _{i} *x_{i} - \bar{y}* \sum_{i=1}^{m}x_{i}}{\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}- \bar{x} * \sum_{i=1}^{m} x_{i}}

 

（因为有：\bar{y}* \sum_{i=1}^{m}x_{i} = \frac{1}{m} * \sum_{i=1}^{m} y_{i} \sum_{i=1}^{m}x_{i} = \bar{x} * \sum_{i=1}^{m}y_{i} ， \bar{x}* \sum_{i=1}^{m}x_{i} = \frac{1}{m} * \sum_{i=1}^{m} x_{i} \sum_{i=1}^{m}x_{i} = \frac{1}{m} * \left ( \sum_{i=1}^{m}x_{i} \right ) ^{2}）

（西瓜书）简单线性回归公式推导_第1张图片

 

所以 ：    w   =    \frac{\sum_{i=1}^{m} y _{i} *x_{i} - \bar{x} * \sum_{i=1}^{m}y_{i} }{\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}- \frac{1}{m} * \left ( \sum_{i=1}^{m}x_{i} \right ) ^{2} }   =    \frac{ \sum_{i=1}^{m} y _{i} * \left ( x_{i} - \bar{x} \right ) }{\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}- \frac{1}{m} * \left ( \sum_{i=1}^{m}x_{i} \right ) ^{2} }      （此即为西瓜书式 3.7）

 

 

 

 

（西瓜书）多元线性回归公式推导请移步：     https://blog.csdn.net/qq_42185999/article/details/102942166   .

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    正则化代价函数（RegularizedCostFunction）详解正则化代价函数是机器学习中用于防止模型过拟合的核心技术，通过在原始代价函数中添加惩罚项，约束模型参数的大小，从而提高泛化能力。以下是系统化的解析：1.为什么需要正则化？过拟合问题：当模型过于复杂（如高阶多项式回归、深度神经网络）时，可能完美拟合训练数据但泛化性能差。解决方案：在代价函数中增加对参数的惩罚，抑制不重要的特征权重。2.
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    android的网络编程和java的一样没什么好分析的都是一些死的照着写就可以了,所以记录下来  方便查找   ,  服务器使用的是TomCat   服务器代码;  servlet的使用需要在xml中注册 package servlet; import java.io.IOException; import java.util.Arr
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    银行各系统功能简介 　 业务系统 核心业务系统 业务功能包括：总账管理、卡系统管理、客户信息管理、额度控管、存款、贷款、资金业务、国际结算、支付结算、对外接口等 清分清算系统 以清算日期为准，将账务类交易、非账务类交易的手续费、代理费、网络服务费等相关费用，按费用类型计算应收、应付金额，经过清算人员确认后上送核心系统完成结算的过程 国际结算系
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        最近开始学习python,要安装个pip的工具。听说这个工具很强大，安装了它，在安装第三方工具的话so easy!然后也下载了，按照别人给的教程开始安装，奶奶的怎么也安装不上！ 第一步：官方下载pip-1.5.6.tar.gz, https://pypi.python.org/pypi/pip easy! 第二部：解压这个压缩文件，会看到一个setup.p
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    //java异常  /* 1，了解java 中的异常处理机制，有三种操作 a,声明异常  b,抛出异常  c,捕获异常 2，学会使用try-catch-finally来处理异常 3，学会如何声明异常和抛出异常 4，学会创建自己的异常   */   //2，学会使用try-catch-finally来处理异常  
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  • 探索JUnit4扩展：Runner bijian1013 java单元测试JUnit
            参加敏捷培训时，教练提到Junit4的Runner和Rule，于是特上网查一下，发现很多都讲的太理论，或者是举的例子实在是太牵强。多搜索了几下，搜索到两篇我觉得写的非常好的文章。         文章地址：http://www.blogjava.net/jiangshachina/archive/20
  • [MongoDB学习笔记二]MongoDB副本集 bit1129 mongodb
    1. 副本集的特性   1)一台主服务器(Primary),多台从服务器(Secondary)   2)Primary挂了之后，从服务器自动完成从它们之中选举一台服务器作为主服务器，继续工作，这就解决了单点故障，因此，在这种情况下，MongoDB集群能够继续工作   3)挂了的主服务器恢复到集群中只能以Secondary服务器的角色加入进来   2
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    Spark SQL supports most commonly used features of HiveQL. However, different HiveQL statements are executed in different manners: 1. DDL statements (e.g. CREATE TABLE, DROP TABLE, etc.)
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  • No grammar constraints (DTD or XML schema).....两种解决方法 byalias xml
    方法一：常用方法   关闭XML验证 工具栏：windows => preferences => xml => xml files => validation => Indicate when no grammar is specified:选择Ignore即可。 方法二：（个人推荐） 添加 内容如下 <?xml version=
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  • MYSQL数据库常用备份及恢复语句 chicony mysql
    备份MySQL数据库的命令，可以加选不同的参数选项来实现不同格式的要求。 mysqldump -h主机 -u用户名 -p密码 数据库名 > 文件 备份MySQL数据库为带删除表的格式，能够让该备份覆盖已有数据库而不需要手动删除原有数据库。 mysqldump -–add-drop-table -uusername -ppassword databasename > ba
  • 小白谈谈云计算--基于Google三大论文 CrazyMizzz Google云计算GFS
        之前在没有接触到云计算之前，只是对云计算有一点点模糊的概念，觉得这是一个很高大上的东西，似乎离我们大一的还很远。后来有机会上了一节云计算的普及课程吧，并且在之前的一周里拜读了谷歌三大论文。不敢说理解，至少囫囵吞枣啃下了一大堆看不明白的理论。现在就简单聊聊我对于云计算的了解。     我先说说GFS   &n
  • hadoop 平衡空间设置方法 daizj hadoopbalancer
    在hdfs-site.xml中增加设置balance的带宽，默认只有1M： <property>   <name>dfs.balance.bandwidthPerSec</name>     <value>10485760</value>     <description&g
  • Eclipse程序员要掌握的常用快捷键 dcj3sjt126com 编程
      判断一个人的编程水平，就看他用键盘多，还是鼠标多。用键盘一是为了输入代码（当然了，也包括注释），再有就是熟练使用快捷键。 曾有人在豆瓣评 《卓有成效的程序员》：“人有多大懒，才有多大闲”。之前我整理了一个 程序员图书列表，目的也就是通过读书，让程序员变懒。  程序员作为特殊的群体，有的人可以这么懒，懒到事情都交给机器去做，而有的人又可以那么勤奋，每天都孜孜不倦得
  • Android学习之路 dcj3sjt126com Android学习
    转自：http://blog.csdn.net/ryantang03/article/details/6901459 以前有J2EE基础，接触JAVA也有两三年的时间了，上手Android并不困难，思维上稍微转变一下就可以很快适应。以前做的都是WEB项目，现今体验移动终端项目，让我越来越觉得移动互联网应用是未来的主宰。 下面说说我学习Android的感受，我学Android首先是看MARS的视
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    转载请出自出处： http://eksliang.iteye.com/blog/2059996 package com.ickes; import java.util.HashMap; import java.util.Iterator; import java.util.Map; import java.util.Map.Entry; /** * 遍历Map的四种方式
  • 【精典】数据库相关相关 gengzg 数据库
    package C3P0; import java.sql.Connection; import java.sql.SQLException; import java.beans.PropertyVetoException; import com.mchange.v2.c3p0.ComboPooledDataSource; public class DBPool{
  • 自动补全 huyana_town 自动补全
    <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"><html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml&quo
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    最主要的是使用到了一个jquery的插件jquery.media.js，使用这个插件就很容易实现了。   核心代码 <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.
  • ViewPager刷新单个页面的方法 lovelease androidviewpagertag刷新
      使用ViewPager做滑动切换图片的效果时，如果图片是从网络下载的，那么再子线程中下载完图片时我们会使用handler通知UI线程，然后UI线程就可以调用mViewPager.getAdapter().notifyDataSetChanged()进行页面的刷新，但是viewpager不同于listview，你会发现单纯的调用notifyDataSetChanged()并不能刷新页面
  • 利用按位取反（~）从复合枚举值里清除枚举值 草料场 enum
    以 C# 中的 System.Drawing.FontStyle 为例。   如果需要同时有多种效果， 如：“粗体”和“下划线”的效果，可以用按位或（|） FontStyle style = FontStyle.Bold | FontStyle.Underline;   如果需要去除 style 里的某一种效果，
  • Linux系统新手学习的11点建议 刘星宇 编程工作linux脚本
    　　随着Linux应用的扩展许多朋友开始接触Linux，根据学习Windwos的经验往往有一些茫然的感觉：不知从何处开始学起。这里介绍学习Linux的一些建议。 　　一、从基础开始：常常有些朋友在Linux论坛问一些问题，不过，其中大多数的问题都是很基础的。例如：为什么我使用一个命令的时候，系统告诉我找不到该目录，我要如何限制使用者的权限等问题，这些问题其实都不是很难的，只要了解了 Linu
  • hibernate dao层应用之HibernateDaoSupport二次封装 wangzhezichuan DAOHibernate
    /** * <p>方法描述:sql语句查询 返回List<Class> </p> * <p>方法备注: Class 只能是自定义类 </p> * @param calzz * @param sql * @return * <p>创建人：王川</p> * <p>创建时间：Jul
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他