【Python计量】参数假设检验

在本文，我们学习变量的显著性检验（t检验）。

对于多元线性回归模型，方程的总体线性关系是显著的，并不能说明每个解释变量对被解释变量的影响是显著的，因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。如果某个变量对被解释变量的影响并不显著，应该将其剔除，以建立更简单的模型。变量显著性检验应用最为普遍的是t检验。

一、假设检验

假设检验（hypothesis test）是利用样本信息判断假设是否成立的过程，它是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立。

1.1 原假设和备择假设

原假设：研究者想收集证据予以反对的假设，也称零假设，用$H_0$表示。

备择假设：研究者想收集证据予以支持的假设，也称研究假设，用$H_1$表示。

1.2 单边检验

如果备择假设具有特定方向，并含有“＞” 或 “＜” 的假设，称为单侧检验或单边检验。

（1）单边右侧检验：拒绝域在分布的右侧尾部

单侧检验：$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$，或者：$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$

给定一个显著性水平$\alpha$，得到临界值$t_{\alpha }(n-k-1)$，若$t>t_{\alpha }(n-k-1)$，则拒绝原假设。

（2）单边左侧检验：拒绝域在分布的左侧尾部

单侧检验：$H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$，或者：$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$

给定一个显著性水平$\alpha$，得到临界值$t_{\alpha }(n-k-1)$，若$t<-t_{\alpha }(n-k-1)$，则拒绝原假设。

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1.3 双边检验

如果备择假设没有特定的方向，只含有“≠”的假设，称为双侧检验或双边检验。

双侧检验：$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$

给定一个显著性水平$\alpha$，得到临界值$t_{\frac{\alpha }{2}}(n-k-1)$，若$|t|>t_{\frac{\alpha }{2}}(n-k-1)$，则拒绝原假设。

1.4 练习

一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比率超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述和书写用于检验的原假设和备择假设。

分析一下：设该城市中家庭拥有汽车的比率真值是y。显然，研究者想收集证据予以支持的假设是 “ 该城市中家庭拥有汽车的比率超过30% ” ，因此建立的原假设和备择假设可以书写为：

H0：y ＝ 30% （或 y ≤ 30%）
H1：y ＞ 30%

二、案例：单边右侧检验

我们以伍德里奇《计量经济学导论：现代方法》的“第4章 多元回归分析：推断”的案例4.1为例，利用WAGE1中526个工人的观测数据，研究其工资和受教育程度、工作经验和任职时长的关系。构建多元线性回归模型如下：
$$log(wage)={\beta }_0+{\beta }_{1}educ+{\beta }_{2}exper+{\beta }_{3}tenure+u$$

• log(wage)：工资的对数，也记作lwage
• educ：受教育程度
• exper：工作经验
• tenure：任职时长

构建模型代码如下：

import wooldridge as woo
import statsmodels.formula.api as smf
from scipy import stats

wage1 = woo.dataWoo('wage1')

#建立回归模型:
reg = smf.ols(formula='lwage ~ educ + exper + tenure', data = wage1)
results = reg.fit()
print(results.summary())

模型回归结果如下：
$$log(wage)=0.2844+0.0920educ+0.0041exper+0.0221tenure+u$$
工作经历exper的斜率系数为0.0041，本例将进一步检验该系数是否为0。

采用单侧备择建设检验方法，即：$H_0:{\beta }_{exper}=0,H_1:{\beta }_{exper}>0$

1.1 比较t统计量和临界值大小

代码如下：

#1.计算样本量
n = len(wage1)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_exper = results.params['exper']/ results.bse['exper'] #params获得系数，bse获得系数标准误
#t_exper = results.tvalues['exper'] #tvalues直接获得t统计量
#4.计算拒绝临界值
a = 0.05 #显著性水平为5%
c = stats.t.ppf(1-a,df)
#5.比较t统计量和临界值大小
if t_exper > c:
	print('拒绝原假设，exper的回归系数显著大于0')
else:
	print('不能拒绝原假设，exper不显著')

本例中，t统计量计算结果为2.39，拒绝临界值为1.648，t统计量大于拒绝临界值，所以拒绝原假设，exper系数显著大于0。

1.2 比较p值和显著性水平大小

我们也可以采用p值的方法。

#1.计算样本量
n = len(wage1)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_exper = results.params['exper']/ results.bse['exper'] #params获得系数，bse获得系数标准误
#t_exper = results.tvalues['exper'] #tvalues直接获得t统计量
#4.计算p值
pval = stats.t.cdf(-abs(t_exper), df)
#pval = 1-stats.t.cdf(abs(t_exper), df)
#5.比较p和显著性水平大小
a = 0.05 #显著性水平为5%
if pval < a:
	print('拒绝原假设，exper的回归系数显著大于0')
else:
	print('不能拒绝原假设，exper不显著')

p值为0.0086，小于5%的显著性水平，因此拒绝原假设。

三、案例：单边左侧检验

我们以伍德里奇《计量经济学导论：现代方法》的“第4章 多元回归分析：推断”的案例4.2为例，利用MEAP93中美国学生数学成绩相关的数据，研究标准化数学成绩的影响因素，包括教师年薪、注册学生人数和配备教师数量。构建多元线性回归模型如下：
$$math10={\beta }_0+{\beta }_{1}totcomp+{\beta }_{2}staff+{\beta }_{3}enroll+u$$

• math10：标准化十分制数学测验成绩
• totcomp：平均教师年薪
• staff：每千名学生配备教师数量
• enroll：注册学生人数

构建模型代码如下：

import wooldridge as woo
import statsmodels.formula.api as smf
from scipy import stats

meap93 = woo.dataWoo('meap93')

#建立回归模型:
reg = smf.ols(formula='math10 ~ totcomp + staff + enroll', data = meap93)
results = reg.fit()
print(results.summary())

模型回归结果如下：
$$math10=2.2740+0.0005totcomp+0.0479staff-0.0002enroll$$
enroll的回归系数为-0.0002，本例将进一步检验该系数是否为0。

采用单侧备择建设检验方法，即：$H_0:{\beta }_{enroll}=0,H_1:{\beta }_{enroll}<0$

1.1 比较t统计量和临界值大小

代码如下：

#1.计算样本量
n = len(meap93)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_enroll = results.tvalues['enroll'] #tvalues直接获得t统计量
#4.计算拒绝临界值
a = 0.05 #显著性水平为5%
c = stats.t.ppf(a,df)
#4.比较t统计量和临界值大小
if t_enroll < c:
	print('拒绝原假设，enroll的回归系数显著小于0')
else:
	print('不能拒绝原假设，enroll不显著')

enroll变量的t统计量为-0.91，而在5%显著性水平下的t分布的拒绝临界值是-1.65，t统计量大于临界值，所以不能拒绝原假设，enroll变量在5%的显著性水平下不是显著的。

1.2 比较p值和显著性水平大小

#1.计算样本量
n = len(meap93)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_enroll = results.tvalues['enroll'] #tvalues直接获得t统计量
#4.计算p值
pval = stats.t.cdf(-abs(t_enroll), df)
#pval = 1-stats.t.cdf(abs(t_enroll), df)
#5.比较p和显著性水平大小
a = 0.05 #显著性水平为5%
if pval < a:
	print('拒绝原假设，enroll的回归系数显著大于0')
else:
	print('不能拒绝原假设，enroll不显著')

p值为0.18，大于5%的显著性水平，因此不能拒绝原假设。

四、案例：双边检验

我们以伍德里奇《计量经济学导论：现代方法》的“第4章 多元回归分析：推断”的案例4.3为例，利用GPA1数据，研究大学成绩的影响因素，包括高中成绩、每周缺课次数和大学能力测验分数。构建多元线性回归模型如下：
$$colGPA={\beta }_0+{\beta }_{1}hsGPA+{\beta }_{2}ACT+{\beta }_{3}skipped+u$$

• colGPA：大学成绩
• hsGPA：高中成绩
• ACT：大学能力测验分数
• skipped：每周缺课次数

构建模型代码如下：

import wooldridge as woo
import statsmodels.formula.api as smf
from scipy import stats

gpa1 = woo.dataWoo('gpa1')

#建立回归模型:
reg = smf.ols(formula='colGPA ~ hsGPA + ACT + skipped', data = gpa1)
results = reg.fit()
print(results.summary())

模型回归结果如下：
$$colGPA=1.3896+0.4118hsGPA+0.0147ACT-0.0831skipped$$
本例检验系数是否等于0。

采用双侧备择建设检验方法，即：$H_0:{\beta }_i=0,H_1:{\beta }_i\ne 0$

1.1 比较t统计量和临界值大小

#1.计算样本量
n = len(gpa1)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_values = results.tvalues  #tvalues直接获得t统计量
#4.计算在显著性水平为5%的情况下的t分布双侧检验拒绝临界值
a = 0.05 #显著性水平为5%
c = stats.t.ppf(1-a/2,df)  #右侧临界值
#4.比较t统计量和临界值大小
print(f't统计量为：\n{t_values}')
print(f'左侧临界值：{-c},右侧临界值：{c}')
for i in range(len(t_values)-1):
    if abs(t_values[i+1]) > c:
        print(f'拒绝原假设，{t_values.index[i+1]}的回归系数显著不等于0')
    else:
        print(f'不能拒绝原假设，{t_values.index[i+1]}不显著')

结果为：

t统计量为：
Intercept    4.191039
hsGPA        4.396260
ACT          1.393319
skipped     -3.196840
dtype: float64
左侧临界值：-1.977431212292894,右侧临界值：1.9774312122928936
拒绝原假设，hsGPA的回归系数显著不等于0
不能拒绝原假设，ACT不显著
拒绝原假设，skipped的回归系数显著不等于0

根据计算，hsGPA的t统计量为4.40，远大于右侧临界值1.98，因此是显著的；ACT的t统计量为为1.39，小于右侧临界值1.98，在统计上不显著；skipped的t统计量为-3.2，小于左侧临界值-1.98，或者说其绝对值大于右侧临界值1.98，因此是显著的。

1.2 比较p值和显著性水平大小

我们也可以采用p值的方法。

#1.计算样本量
n = len(gpa1)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_values = results.tvalues  #tvalues直接获得t统计量
#4.计算p值
pval = 2*stats.t.cdf(-abs(t_values), df) #双侧检验
#pval = 2*(1-stats.t.cdf(abs(t_values), df))
#5.比较p和显著性水平大小
a = 0.05 #显著性水平为5%
for i in range(len(t_values)-1):
    if pval[i+1] < a:
        print(f'拒绝原假设，{t_values.index[i+1]}的回归系数显著不等于0')
    else:
        print(f'不能拒绝原假设，{t_values.index[i+1]}不显著')

1.2 调用t_test()进行t检验

除了自己手动进行t检验，我们可以调用results.t_test()方法直接进行t检验，该方法只能进行双侧检验。

hypotheses ='hsGPA =0,ACT=0,skipped =0'
t_test = results.t_test(hypotheses)
print(t_test)

结果如下：

                             Test for Constraints                             
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
c0             0.4118      0.094      4.396      0.000       0.227       0.597
c1             0.0147      0.011      1.393      0.166      -0.006       0.036
c2            -0.0831      0.026     -3.197      0.002      -0.135      -0.032
==============================================================================

五、案例：对各变量回归系数进行t检验，假设值不为0

尽管：$H_0:{\beta }_i=0$是最常见的假设，但有时候我们也想检验$\beta_i $是否等于其他某个给定的常数。比如如果我们研究hsGPA对colGPA的回归系数是否大于0.4，我们的原假设和备择假设为：
$$H_0:{\beta }_{hsGPA}=0.4,H_1:{\beta }_{hsGPA}>0.4$$
results.tvalues返回的是原假设为系数等于0的t统计量，当原假设系数等于其他常数，需要通过公式计算t统计量，公式如下：
$$t统计量=\frac{估计值-假设值}{标准误}$$

1.1 比较t统计量和临界值大小

代码如下：

#1.计算样本量
n = len(gpa1)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_hsGPA = (results.params['hsGPA']-0.4)/ results.bse['hsGPA'] #params获得系数，bse获得系数标准误
#4.计算拒绝临界值
a = 0.05 #显著性水平为5%
c = stats.t.ppf(1-a,df)
#4.比较t统计量和临界值大小
if t_hsGPA > c:
	print('拒绝原假设，hsGPA的回归系数显著大于0.4')
else:
	print('不能拒绝原假设，hsGPA的回归系数大于0.4是不显著的')

结果为：

不能拒绝原假设，hsGPA的回归系数大于0.4是不显著的

我们计算得到t统计量为0.126，而t分布在5%显著性水平下的双侧临界值为1.66，t统计量小于临界值，所以不能拒绝原假设，即hsGPA对colGPA的回归系数大于0.4是不显著的。

1.2 比较p值和显著性水平大小

代码如下：

#1.计算样本量
n = len(gpa1)
#2.计算自由度
df = n-3-1   #n为计算的样本量，3为自变量个数
#3.计算t统计量
t_hsGPA = (results.params['hsGPA']-0.4)/ results.bse['hsGPA'] #params获得系数，bse获得系数标准误
#4.计算p值
pval = stats.t.cdf(-abs(t_hsGPA), df)
#pval = 1-stats.t.cdf(t_hsGPA), df)
#5.比较p和显著性水平大小
a = 0.05 #显著性水平为5%
if pval < a:
	print('拒绝原假设，hsGPA的回归系数显著大于0.4')
else:
	print('不能拒绝原假设，hsGPA的回归系数大于0.4是不显著的')