R语言学习笔记5_参数的假设检验
目录
- 五、参数的假设检验
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- 5.1 假设检验与检验的P值
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- 5.1.1 假设检验的概念与步骤
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- 假设检验的基本思想
- 两类错误
- 检验步骤
- 5.1.2 检验的P值
- 5.2 单正态总体参数的检验
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- 5.2.1 均值μ的假设检验
- 5.2.2 方差σ^2^的检验：卡方检验
- 5.3 两正态总体参数的检验
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- 5.3.1 均值的比较：t 检验
- 5.3.2 方差的比较：F检验
- 5.4 成对数据的 t 检验
- 5.5 单样本比率的检验
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- 5.5.1 比率p的精确检验
- 5.5.2 比率p的近似检验（n>30）
- 5.6 两样本比率的检验
五、参数的假设检验
假设总体分布已知先对总体的某个未知参数作某种假设，然后由抽取的样本提供信息，构造合适的统计量，对所提供的假设进行检验，以做出统计判断是接受假设还是拒绝假设。
5.1 假设检验与检验的P值
5.1.1 假设检验的概念与步骤
假设检验的基本思想
- 概率性质的反证法：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。
- 要检验某假设H0，先假设H0正确，在此假设下构造某一事件A，其在H0为正确的条件下发生的概率很小；现在进行一次试验，如果事件A发生了（小概率事件发生了），表明有充分理由拒绝“假定H0正确”；反之，如果事件A没有发生，则没有充分理由拒绝H0，接受H0。
- 接受/拒绝H0≠H0正确/错误，只是根据样本所提供的信息以一定的可靠程度认为H0正确或错误。
- 通常把没有把握、不能轻易肯定的命题作为备择假设H1，把没有充分理由就不能轻易否定的命题作为原假设H0（只有理由充分时才拒绝它，否则应予以保留）。
两类错误
1）第一类错误：弃真
P(拒绝H0 | H0为真)=α
2）第二类错误：取伪
P(接受H0 | H0为假)=β
两类错误 此消彼长 唯一让他们都减小的方法是增大样本容量。
通常只对第一类错误的最大概率α加以限制，而不考虑β，这种统计假设检验问题称为——显著性检验，α为假设检验的显著水平。
检验步骤
1）提出原假设H0与备择假设H1；
2）选择检验统计量W并确定其分布；
3）在给定的显著性水平下，确定H0关于统计量W的拒绝域；
4）算出样本点对应的检验统计量的值；
5）判断：若统计量的值落在拒绝域内则拒绝H0，否则接受H0。
5.1.2 检验的P值
检验的P值——在一个假设检验问题中，拒绝原假设H0的最小显著性水平。
P值表示对原假设的怀疑程度/首次拒绝原假设的概率，P值越小，表示原假设越可疑，越应该拒绝原假设。
α≥P，在显著性水平α下拒绝H0； α＜P，在显著性水平α下保留H0
5.2 单正态总体参数的检验
5.2.1 均值μ的假设检验
1）方差σ2已知时μ的检验：Z检验
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0 | { |Z| > z1-α/2 } |
| H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0 | { Z > z1-α } |
| H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0 | { Z < - z1-α } |
例：微波炉在炉门关闭状态下的辐射量是一项重要的质量指标。设该指标服从正态分布N（μ，0.12），均值要求不超过0.12。为检查近期产品的质量，从某厂生产的微波炉中抽查了25台，得其炉门关闭时辐射量的均值为0.13，问该厂生产的微波炉炉门关闭时辐射量是否偏高？（α=0.05）
假设H0：μ≤0.12，H1：μ>0.12
> z.test(0.13,25,0.1,0.05,u0=0.12,alternative = "greater")
$mean
[1] 0.13
$z
[1] 0.5
$p.value
[1] 0.6915
$conf.int
[1] 0.0908 0.1692
由于P=0.6915>α=0.05，接受原假设，认为炉门关闭时辐射量没有偏高。
2）方差σ2未知时μ的检验：t检验
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0 | { |T| > t1-α/2(n-1) } |
| H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0 | { T > t1-α(n-1) } |
| H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0 | { T < - t1-α(n-1) } |
例：某车间用一台包装机包装精盐，额定标准每袋净质量500g，设包装机包装出的盐每袋盐净质量X~N(μ，σ2)，某天随机的抽取9袋，称得净质量(g)为490，506，508，502，498，511，510，515，512。问该包装机工作是否正常？（α=0.05）
假设H0：μ=500，H1：μ≠500
> x<- c(490,506,508,502,498,511,510,515,512)
> t.test(x,mu=500)
One Sample t-test
data: x
t = 2.2, df = 8, p-value = 0.06
alternative hypothesis: true mean is not equal to 500
95 percent confidence interval:
499.7 511.8
sample estimates:
mean of x
505.8
由于p-value = 0.06>α，接受原假设，认为该包装机正常。
5.2.2 方差σ2的检验：卡方检验
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02 | { χ2 ≥ χ21-α/2(n-1) 或 χ2 ≤ χ2α/2(n-1)} |
| H0：σ2≤σ02，H1：σ2>σ02 | { χ2 ≥ χ21-α(n-1) } |
| H0：σ2≥σ02，H1：σ2<σ02 | { χ2 ≤ χ2α(n-1) } |
例：检查一批保险丝，抽出10根测量其通过强电流融化所需的时间(s)为：42,65,75,78,59,71,57,68,54,55。假设融化所需时间服从正态分布，问能否认为融化时间方差不超过80？（α=0.05）
假设H0：σ2≤80，H1：σ2>80
> x<-c(42,65,75,78,59,71,57,68,54,55)
> chisq.var.test(x,80,0.05,alternative = "greater")
$var
[1] 121.8
$chi2
[1] 13.71
$p.value
[1] 0.8668
$conf.int
[1] 57.64 406.02
由于p=0.8668>α，故接受原假设，认为融化的时间方差不超过80.
5.3 两正态总体参数的检验
5.3.1 均值的比较：t 检验
前提：σ12=σ22
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2 | { |T| > t1-α/2(n1+n2-2) } |
| H0：μ1≤μ2，H1：μ1>μ2 | { T > t1-α(n1+n2-2)} |
| H0：μ1≥μ2，H1：μ1<μ2 | { T < - t1-α(n1+n2-2)} |
例：甲、乙两台机床分别加工某种轴承，轴承的直径分别服从正态分布N(μ1,σ21)、N(μ2,σ22)，从各自加工的轴承中分别抽取若干个轴承测其直径，结果如下表所示。设σ21=σ22，问两台机床的加工精度有无显著差异？（α=0.05）
总体 样本容量 直径 X（甲） 8 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20 19 19.9 Y（乙） 7 20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
假设H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2
> x<-c(20.5, 19.8 ,19.7 ,20.4, 20.1, 20 ,19 ,19.9)
> y<-c(20.7, 19.8, 19.5, 20.8, 20.4, 19.6, 20.2)
> t.test(x,y,var.equal = T)
Two Sample t-test
data: x and y
t = -0.85, df = 13, p-value = 0.4
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.7684 0.3327
sample estimates:
mean of x mean of y
19.93 20.14
由于p = 0.4>α=0.05，故接受原假设，认为两台机床的加工精度没有显著差异。
5.3.2 方差的比较：F检验
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22 | { F ≥ F1-α/2(n1-1,n2-1) 或 F ≤Fα/2(n1-1,n2-1) } |
| H0：σ12≤σ22，H1：σ12>σ22 | { F ≥ F1-α(n1-1,n2-1) } |
| H0：σ12≥σ22，H1：σ12<σ22 | {F ≤ Fα(n1-1,n2-1) } |
例：数据同上例，问两台机床加工的轴承直径的方差是否相同？
假设H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22
> var.test(x,y)
F test to compare two variances
data: x and y
F = 0.79, num df = 7, denom df = 6, p-value = 0.8
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.1393 4.0600
sample estimates:
ratio of variances
0.7932
由于p = 0.8>α=0.05，故接受原假设，认为两台机床加工的轴承直径的方差相同。
5.4 成对数据的 t 检验
成对数据：两样本的样本容量相等，除均值外没有差异。
某班级同一单元内容的第二次考试成绩是否比第一次高？
| Zi=Xi-Yi , i=1,2,…,n | μ=μ1-μ2 | σ2=σ12+σ22 | Z~N( μ,σ2) |
|---|
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0 | { |T| > t1-α/2(n-1) } |
| H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0 | { T > t α/2(n-1) } |
| H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0 | { T < - t α/2(n-1) } |
例：在针织品漂白工艺过程中，要考虑温度对针织品的断裂强度的影响。为了比较70度与80度的影响有无差别，在这两个温度下分别重复做了8次试验，数据如下表所示（单位：N）。根据经验，温度对针织品断裂强度的波动没有影响。问在70度时的平均断裂强度与80度时的平均断裂强度是否有显著差别？（α=0.05）
70度时的强度 20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2 80度时的强度 17.7 20.3 20.0 18.8 19 20.1 20.0 19.1
假设H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，μ=μ1-μ2
1）方法一：
> x<-c(20.5 ,18.8, 19.8, 20.9 ,21.5 ,19.5, 21.0 ,21.2)
> y<-c(17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19 ,20.1, 20.0 ,19.1)
> t.test(x,y,paired = TRUE)
Paired t-test
data: x and y
t = 1.8, df = 7, p-value = 0.1
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.3214 2.3714
sample estimates:
mean of the differences
1.025
2）方法二：
onesamp(dset, x="unsprayed", y="sprayed", xlab=NULL, ylab=NULL, dubious=NULL, conv=NULL, dig=2)
dset 为有两列的数据框或矩阵，x 为处于”predictor“地位的列名，y为处于”response“地位的列名
> z<-data.frame(x,y)
> > onesamp(z,x='y',y='x')
x 0.9411 0.8876 1.61
One Sample t-test
data: d
t = 1.8, df = 7, p-value = 0.1
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.3214 2.3714
sample estimates:
mean of x
1.025
5.5 单样本比率的检验
设样本服从binom(1,p)，T=样本和~binom(n,p)
5.5.1 比率p的精确检验
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：p=p0，H1：p≠p0 | { T ≤ c1或T ≥ c2 }，c1 < c2 |
| H0：p≤p0，H1：p>p0 | { T ≥ c} |
| H0：p≥p0，H1：p |
{ T≤ c '} |
可以通过二项分布/F分布来确定临界值c，用binom.test()完成原假设的检验
5.5.2 比率p的近似检验（n>30）
样本容量较大时，比例p的抽样分布近似服从正态分布。
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：p=p0，H1：p≠p0 | { |Z| > z1-α/2 } |
| H0：p≤p0，H1：p>p0 | { Z > z1-α } |
| H0：p≥p0，H1：p |
{ Z < - z1-α } |
例：某产品的优质品率一直保持在40%，近期监督部门抽查了12件产品，其中优质产品为5件，问在α=0.05水平上能否认为其优质频率仍保持在40%？
假设H0：p=p0，H1：p≠p0，由于n=12<30，适合作精确检验。
> binom.test(c(5,7),p=0.4)
Exact binomial test
data: c(5, 7)
number of successes = 5, number of trials = 12, p-value = 1
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.4
95 percent confidence interval:
0.1517 0.7233
sample estimates:
probability of success
0.4167
同样可以用prop.test()进行近似检验，只不过会发出警告
> prop.test(5,12,p=0.4,correct = T)
1-sample proportions test with continuity correction
data: 5 out of 12, null probability 0.4
X-squared = 0, df = 1, p-value = 1
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.4
95 percent confidence interval:
0.1818 0.6941
sample estimates:
p
0.4167
Warning message:
In prop.test(5, 12, p = 0.4, correct = T) : Chi-squared近似算法有可能不准
5.6 两样本比率的检验
| X,Y相互独立，总体容量较大 | n1,n2较大 | p1,p2近似服从正态分布 |
|---|
| 假设检验问题 | 拒绝域 |
|---|---|
| H0：p1=p2，H1：p1≠p2 | { |Z| > z1-α/2 } |
| H0：p1≤p2，H1：p1>p2 | { Z > z1-α } |
| H0：p1≥p2，H1：p1 |
{ Z < - z1-α } |
例：某高校随机抽取了102个男学生与135个女学生调查家中有无计算机。调查结果为23个男学生和25个女学生家中有计算机。问在α=0.05水平上，能否认为男、女学生家中拥有计算机的比率一致？
假设H0：p1=p2，H1：p1≠p2
> prop.test(c(23,25),c(102,135))
2-sample test for equality of proportions with continuity correction
data: c(23, 25) out of c(102, 135)
X-squared = 0.36, df = 1, p-value = 0.5
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
-0.07256 0.15317
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.2255 0.1852
由于p-value = 0.5>0.05，故接受原假设，认为男、女学生家中拥有计算机的比率一致。