数学物理方法 数学物理方程

数学物理方程就是具有物理背景的数学方程。

微分方程包含常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）。前者在高等数学中简单的学过，ODE是指方程只对一个变量求导。PDE是指方程对多个变量求导(如x, y, t)。
除此之外数学物理方程还有积分方程（不讨论）。

二阶线性偏微分方程（二阶值最高求两次导）

本章研究二阶线性偏微分方程。

算符：需要和函数一起作用，比如取模算法，求和算符
梯度算符：
返回最大的方向导数，和函数作用得到的是一个向量。
拉普拉斯算符：
两个梯度算符点乘，和函数作用得到的是一个标量

约定：
$$u_t=\frac{\partial u}{\partial t}$$
$$u_{tt}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$

二阶PDE包括：

1. 椭圆形
   常见的：
   拉普拉斯方程
   $${\nabla }^{2}u=0$$
   泊松方程：（反映有源的稳定场,如有热源稳定的温度场，有电荷的稳定电场 ）
   $${\nabla }^{2}u=f$$
   f=f(x,y,z,t)可以是静电场的电势
2. 抛物型（特征线是抛物线）
   用来描述扩散场，即场还没有稳定下来，特定点的函数值随时间变化。
   $$u_t-D{\nabla }^{2}u=f$$
   D是扩散系数（导热系数），f=f(x,y,z,t)是与源有关的已知量。
3. 双曲线方程
   波动方程，用来描述振动和波动
   $$u_{tt}-a^2{\nabla }^{2}u=f$$
   a表示波的传播速度，a为声速则表示机械波，a为光速则为电磁波等。f=f(x,y,z,t)是与源有关的已知量，一般指强迫振动源。

下面研究解的 存在性（求解）、唯一性、稳定性（）。

求解步骤：

1. 物理问题转化为数学问题，即提出定解问题。
   偏微分方程给出了场中时间空间的联系，偏微分方程称为泛定方程。但是还需要给出定解条件，即初始条件（除非是稳定场）和边界条件（除非是无边界）才能求解数学物理方程。泛定条件和定解条件一起称为定解问题。

求解方法：
波动方程可以用-----行波法
所有方程可以用-----分离变量法，
积分变换法（主要拉普拉斯积分变换，傅里叶积分变换）
格林函数法
其他：变分法，数值解（构造差分方程，求数值解）

例子：
为什么稳定场稳定泊松方程？
$${\nabla }^{2}u=f$$
在静电场中，电荷静止不动，其产生的电势也不随时间变化。
由麦克斯韦方程组微分形式：
$$\nabla D={\rho }_f$$
$$D=\xi E$$
$$E=-\nabla u$$
电场方向是 电势降落最快的方向。ξ是和介质相关的常数，ρf是和电荷分布相关函数.
$${\nabla }^{2}u=-\frac{{\rho }_f}{\xi }$$
如果讨论区域无电荷，则右边为0

定解条件

初始条件：

对于含有t的泛定方程，需要给出初始条件。初始条件是关于xyz的函数。

泊松方程没有初始条件。因为不含t。

边界条件

边界点上关于t的函数。

第一类边界条件：给出了未知函数在边界上的值。

第二类边界条件：
给出边界法向的导数值。

第三类边界条件：
给出边界的值和法向导数的值的线性组合的值。

边界条件还可以分齐次非齐次，如果等号右边为0，则称为齐次，否则为非齐次。

定解问题的分类：

1. 柯西问题：只有初始条件，没有边界条件。
   常常处理无界的问题
2. 边值问题：没有初始条件，只有边界条件。
   常常处理狄氏问题，如稳定的温度场。
3. 混合问题：有初始条件和边界条件。