基于傅里叶变换图像配准

1、理论

首先给出傅里叶变换的旋转、平移、比例放大特性，及如何利用这些特性进行图像配准。

1.1平移变化

如果图像是图像经平移后的图像，即，则对应的傅里叶变化F1和F2的关系为：

(1)

且对应频域中两个图像的互能量谱为：

(2)

式中为的复共轭。平移理论表明，互能量谱的相位等于图像间的相位差。通过对互能量谱进行反变换，就可得到一个冲击函数。此函数在偏僻位置处有明显的尖锐峰值。其他位置的值接近于零，所以据此就能找到两图像间的偏移量。

1.2 没有尺度变化的旋转特性

如果是经平移、旋转得到的图像，即：

(3)

根据傅里叶的旋转和平移特性，变换后两图像间的关系为：

(4)

假定M1，M2为F1和F2的能量，则：

(5)

由公式（5）可以看出，F1和F2的能量是相同的，不过其中一个是另一个旋转后的副本。直角坐标中的旋转对应着极坐标角度的平移。因此将公式（5）进行极坐标描述为：

(6)

进而利用相位相关理论，可得到。

1.3 带比例放大的变换特性

如果f1为f2分别在水平和垂直方向上进行比例缩放后的图像，缩放因子为(a,b)，根据傅里叶尺度变换特性，有：

(7)

通过对数轴变换，比例变换可转换为平移变换（忽略乘积因子1/ab）：

(8)

上式可写成：

(9)

式中。则平移(c,d)可通过相位相关技术得到，尺度因子(a,b)由(c,d)得到：

(10)

如果(x,y)尺度变化为(x/a,y/a)，则其极坐标可描述为：

(11)

(12)

进而，如果f1为f2经平移、旋转和比例缩放后的图像，则它们的极坐标描述的能量谱间的关系为：

(13)

(14)

(15)

式中，。利用上式和相位相关技术可得到比例因子a和旋转角，分别对要配准的图像进行比例变换和旋转后，再利用相位相关技术可求出图像间的偏移量。

2、总结

由上讨论可以看出，首先求出比例因子及旋转角，按此值对欲配准图像变换后，求出平移量，再进行变换可得到配准好的图像。具体步骤如下：

（1）对原始图像进行傅里叶变换，并求出各自的能量。

（2）高通滤波。

(16)

(17)

（3）将滤波后的各图像的能量转换成对数-极坐标形式，并求其互能量谱，得到比例系数及旋转角。

（4）将欲配准的图像经旋转、比例放大后再与参考图像一起计算互能量谱，从而得到平移量。