计算机概论-结构归纳法（structural induction）

结构归纳法（structural induction）

菜鸡在ANU学习这章时发现中文资料甚少，再此进行梳理（复习）。欢迎大佬指点讨论。

归纳列表（induction on list）

如何定义列表

1. 定义关于元素属性A的空列表[]
2. 给出列表A的元素a，并加上前缀（写作 a：A）

如何对列表I证明特性P（I）

1. P（）对于空列表成立（p（[]））
2. 如果列表A符合P（A），对任意a证明P（a：A）成立

例：
使用以下条件
length [] = 0 (L1)
length (x:xs) = 1 + length xs (L2)
map f [] = [] (M1)
map f (x:xs) = f x : map f xs (M2)
[] ++ ys = ys (A1)
(x:xs) ++ ys = x : (xs ++ ys) (A2)
证明：∀xs.length (map f xs) = length xs.
思路：首先证明P([])成立,再证∀x.∀xs.P(xs)→P(x:xs)
解：

1. P([ ]) length (map f [])= length []由M1推得: map f [] = []
2. ∀x.∀xs.P(xs)→P(x:xs)
   归纳假设：对任意一个list：length (map f as) = length as
   length (map f (a:as))=
   length (f a : map f as) – by (M2)
   = 1 + length (map f as) – by (L2)
   = 1 + length as – by (IH)
   = length (a:as) – by (L2)

树结构的归纳

定义：假设任意type a

1. Nul是树a
2. 如果l，r是type树a，x是type a，那么结点l x r 是type树a

树的归纳假设
证明P（t）成立对于所有t属于type树a

1. P（Nul）成立
2. 证明只要P（l）和P（r）都为真，则P（Node l x r）成立

例：
证明count (mapT f t) = count t成立对于所有 functions f和所有树t

1.P(Nul)count (mapT f Nul) = count Nul --(M1)
2.
思路：证明count (mapT f (Node u1 a u2)) = count (Node u1 a u2)
归纳假设：对任意u1，u2，P(u1)∧P(u2) 写作：
count (mapT f u1) = count u1 – (IH1)
count (mapT f u2) = count u2 – (IH2)

count (mapT f (Node a u1 u2))
=count (Node (mapT f u1) (f x) (mapT f u2)) – by (M2)
= 1 + count (mapT f u1) + count (mapT f u2) – by (C2)
= 1 + count u1 + count u2 – by (IH1, IH2)
= count (Node a u1 u2) – by (C2)