Pytorch优化器全总结（三）牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码

目录

写在前面

一、牛顿法

1.看图理解牛顿法

2.公式推导-三角函数

3.公式推导-二阶泰勒展开

二、BFGS公式推导

三、L-BFGS

四、算法迭代过程

五、代码实现

1.torch.optim.LBFGS说明

2.使用LBFGS优化模型

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优化器系列文章列表

Pytorch优化器全总结（一）SGD、ASGD、Rprop、Adagrad

Pytorch优化器全总结（二）Adadelta、RMSprop、Adam、Adamax、AdamW、NAdam、SparseAdam

Pytorch优化器全总结（三）牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码

写在前面

        这篇文章是优化器系列的第三篇，主要介绍牛顿法、BFGS和L-BFGS，其中BFGS是拟牛顿法的一种，而L-BFGS是对BFGS的优化，那么事情还要从牛顿法开始说起。 

一、牛顿法

        函数最优化算法方法不唯一，其中耳熟能详的包括梯度下降法，梯度下降法是一种基于迭代的一阶优化方法，优点是计算简单；牛顿法也是一种很重要的优化方法，是基于迭代的二阶优化方法，优点是迭代次数少，收敛速度很快。下面我们简要介绍一下牛顿法。

1.看图理解牛顿法

        最优化问题就是寻找能使函数最小化的x，所以目标函数应当是一个凸函数（起码是局部凸函数），假如一个函数如下图：

 图1

         他的一阶导数可能长下面这个样子：

 图2

         很显然函数在处取得最小值，同时这个点的导数等于0，如果使用梯度下降，经过多次迭代，x的取值会慢慢接近，我们都能想象这个过程。

        如果使用牛顿法，x也会逼近，不过速度会快很多，示例图如下：

图3

        这个过程可以这样描述：

        a.在X轴上随机一点,经过做X轴的垂线,得到垂线与函数图像的交点.

        b.通过做函数的切线,得到切线与X轴的交点.

        c.迭代a/b两步，当前后两次求的x相同或者两个值的差小于一个阈值的时候，我们就认为找到了。

        三个步骤的难点在于b，如何快速的找到切线与X轴的交点，下面有两种计算方式，思想不同但结果是一样的。

2.公式推导-三角函数

        

图4

        如图4，蓝色的线是函数的的导数，则曲线在处的导数为，我们要求，根据三角函数有：

                        （1）

        得出：

                                （2）

        利用开始进行下一轮的迭代。迭代公式可以简化如下：

                        （3）

3.公式推导-二阶泰勒展开

        任意一点在附近的二阶泰勒展开公式为：

        （4）

        对求导：

                        （5）

        令:

                 （6）

        写成迭代形式：

                （7）

        可以看到使用三角函数和二阶泰勒展开最终得到的结果是一样的。虽然牛顿法收敛速度很快，但是当x的维度特别多的时候，我们想求得是非常困难的，而牛顿法又是一个迭代算法,所以这个困难我们还要面临无限多次，导致了直接使用牛顿法最为优化算法很难实际落地。为了解决这个问题出现了拟牛顿法，下面介绍一种拟牛顿法BFGS，主要就是想办法一种方法代替二阶导数。

二、BFGS公式推导

        函数 在 处的二阶泰勒展开式为：

        （8）

        当x为向量的时候，上式写成：

        （9）

        令，同时对求导：

                （10）

         接下来我们要想办法去掉，我们使用代替，是在迭代中一点点计算出来的而不使用二阶导数。

        上式变为:

                （11）

                （12）

        我们认为每次迭代与上次变化，形式如下：

                        （13）

          令：

，                 （14）

        将式（13）（14）带入式子（12）：

                        （15）

        令：

               （16）

         其中 均为 的向量，带入（15）

                （17）

     （18）

         已知： 为实数， 为向量。式（18）中，参数 和 解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设 。带入（16）得：

                        （19）

        将 带入（18）得：

        （20）

                （21）

         令 ，则：

                                        （22）

        令，则

                                （23）

        将式（22）和（23）带入（19）：

                              （24）

        将（24）带入（13）得到的迭代公式：

                        （24）

        当x为向量的时候，式（7）写成：

                        （25）

        加上学习率得到BFGS的迭代公式：

                         （26）

        我们发现，还需要求的逆，这里可以引入sherman-morrism公式，求解的逆：

                （27）

        我们用代替，得到最终的BFGS迭代公式和的迭代公式：

                                         （28）

      （29）

        其中是本轮x与上一轮x的差，是本轮梯度与上一轮梯度的差。

三、L-BFGS

        在BFGS算法中，仍然有缺陷，每次迭代计算需要前次迭代得到的，的存储空间至少为N(N+1)/2（N为特征维数），对于高维的应用场景，需要的存储空间将是非常巨大的。为了解决这个问题，就有了L-BFGS算法。L-BFGS即Limited-memory BFGS。 L-BFGS的基本思想就是通过存储前m次迭代的少量数据来替代前一次的矩阵，从而大大减少数据的存储空间。

        令，则式（29）可以表示为：

                         （30）

        若在初始时，假定初始的矩阵，则我们可以得到：

                                （31）

                                        

                                                

                                                        （32）

                 

                                        

                                        ​​​​​​​                ​​​​​​​

                                                        

                                                        

                                                                                                

         假设当前迭代为n，只保存最近的m次迭代信息，按照上面的方式迭代m次，可以得到如下的公式：

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

                                                

        ​​​​​​​                                        

                                                

                                                ​​​​​​​

        由于这些变量都最终可以由s、y两个向量计算得到，因此，我们只需存储最后m次的s、y向量即可算出，加上对角阵​​​​​​​，总共需要存储2*m+1个N维向量（实际应用中m一般取4到7之间的值，因此需要存储的数据远小于Hesse矩阵）。

四、算法迭代过程

        1. 选初始点，最小梯度阈值，存储最近 m 次的选代数据；

        2.初始化；

        3.如果，则返回最优解 x，否则转入步骤4；

        4.计算本次选代的可行方向；

        5.计算步长，用下面的式子进行线搜索；

        6.用下面的更新公式更新x；

        7.如果 n大于 m，保留最近 m 次的向量对，删除；

        8.计算并保存向量对

        9.用 two-loop recursion算法求：

        10.设置，转到步骤3

五、代码实现

1.torch.optim.LBFGS说明

        该类实现 LBFGS优化方法。LBFGS是什么已经不用多说了。   

        Pytorch说明文档：LBFGS — PyTorch 1.13 documentation

'''
lr (float): 学习率 (default: 1)
max_iter (int): 每个优化步骤的最大迭代次数，就像图3那样迭代 (default: 20)
max_eval (int): 每次优化函数计算的最大数量，使用了线搜索算法时，每次迭代计数器可能增加不止1，最好使用线搜索算法时再设置这个参数。计数器同时受max_iter 和max_eval约束，先到哪个值直接跳出迭代。(default: max_iter * 1.25).
tolerance_grad (float): 一阶最优终止公差，就是指yn (default: 1e-5).
tolerance_change (float): 函数值/参数变化的终止容差,就是指sn (default: 1e-9).
history_size (int): 更新历史记录大小 (default: 100).
line_search_fn (str): 使用线搜索算法，只能是'strong_wolfe' 或者None (default: None).
'''
class torch.optim.LBFGS(params, lr=1.0, rho=0.9, eps=1e-06, weight_decay=0)

2.使用LBFGS优化模型

        我们用一个简单的全连接网络并使用LBFGS优化，下面是代码和运行结果，可以看到，损失下降的速度还是很快的。

# coding=utf-8
#================================================================
#
#   File name   : optim_duibi.py
#   Author      : Faye
#   Created date: 2022/8/26 17:30
#   Description :
#
#================================================================

import torch
import torch.utils.data as Data
import torch.nn.functional as F
from torch.autograd import Variable
import matplotlib.pyplot as plt

# 超参数
LR = 0.01
BATCH_SIZE = 32
EPOCH = 12

# 生成假数据
# torch.unsqueeze() 的作用是将一维变二维，torch只能处理二维的数据
x = torch.unsqueeze(torch.linspace(-1, 1, 1000), dim=1)  # x data (tensor), shape(100, 1)
# 0.2 * torch.rand(x.size())增加噪点
y = x.pow(2) + 0.1 * torch.normal(torch.zeros(*x.size()))

# 定义数据库
dataset = Data.TensorDataset(x, y)

# 定义数据加载器
loader = Data.DataLoader(dataset=dataset, batch_size=BATCH_SIZE, shuffle=True, num_workers=0)


# 定义pytorch网络
class Net(torch.nn.Module):
    def __init__(self, n_features, n_hidden, n_output):
        super(Net, self).__init__()
        self.hidden = torch.nn.Linear(n_features, n_hidden)
        self.predict = torch.nn.Linear(n_hidden, n_output)

    def forward(self, x):
        x = F.relu(self.hidden(x))
        y = self.predict(x)
        return y

# 定义不同的优化器网络
net_LBFGS = Net(1, 10, 1)

# 选择不同的优化方法
opt_LBFGS = torch.optim.LBFGS(net_LBFGS.parameters(), lr=LR, max_iter=20)

nets = [net_LBFGS]
optimizers = [opt_LBFGS]

# 选择损失函数
loss_func = torch.nn.MSELoss()

# 不同方法的loss
loss_LBFGS = []

# 保存所有loss
losses = [loss_LBFGS]

# 执行训练
for epoch in range(EPOCH):
    for step, (batch_x, batch_y) in enumerate(loader):
        var_x = Variable(batch_x)
        var_y = Variable(batch_y)
        for net, optimizer, loss_history in zip(nets, optimizers, losses):
            if isinstance(optimizer, torch.optim.LBFGS):
                def closure():
                    y_pred = net(var_x)
                    loss = loss_func(y_pred, var_y)
                    optimizer.zero_grad()
                    loss.backward()
                    return loss
                loss = optimizer.step(closure)
            else:
                # 对x进行预测
                prediction = net(var_x)
                # 计算损失
                loss = loss_func(prediction, var_y)
                # 每次迭代清空上一次的梯度
                optimizer.zero_grad()
                # 反向传播
                loss.backward()
                # 更新梯度
                optimizer.step()
            # 保存loss记录
            loss_history.append(loss.data)

# 画图
labels = ['LBFGS']
for i, loss_history in enumerate(losses):
    plt.plot(loss_history, label=labels[i])
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Steps')
plt.ylabel('Loss')
plt.ylim((0, 0.2))
plt.show()

         牛顿法、BFGS和L-BFGS就介绍到这里，后面我将对比所有优化算法的性能，收藏关注不迷路。

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