大一上学期高数期中复习 高数叔复习笔记

啊啊啊啊我不想重开啊

好好复习！！！！！

大一上期中求过

间断点

出题形式：

 

判断间断点的方法

 对于一些特殊的

 对于这种：arctan1/x

我们也要考虑左右极限的情况：

 习题：

1.

步骤1求间断点

 步骤二求对应间断点的极限 

当趋近于这个间断点的时候求极限

间断点1

存在极限2 那么就可以推出左右极限都存在且相等

但是在x==1处 无定义

那么为第一类可去间断点

 间断点2的极限趋近于无穷大  那么极限不存在

为第二类无穷间断点

 总结：

间断点的意思就是函数式在这一点处取不到  即是无定义

1.左右极限存在  那么为第一类间断点

2.左右极限只要有一个不存在 那么就为第二类间断点

例二：

步骤1 先看看这个函数在哪个点处是无定义的

步骤二：求趋近于间断点时  函数式的极限

根据极限的值 来判断间断点的类型

存在则为第一类  左右极限相等则为可去  反之为跳跃

极限不存在时

为第二类间断点

 

 例三：

这个题要判断左右极限的值

分段函数要在分段点处判断

 

零点定理：

介值定理：

 解题步骤：

例题：

 

解答：

例子：介值定理：

 渐近线：

 

例子： 

 

 找渐近线的时候：

我们看它是否可以趋近于一个值或者无穷

看极限趋近于这两个时  对应的x值是取多少

 

 当求极限时：

出现分子分母之比等于无穷大/无穷大 时

我们采用抓大头的方法

分子分母同除最高次方

间断点：

形式1：

A(x)/B(x)类型：

0/0型：可去间断点

k/0型：无穷间断点 

 步骤1 ：先找出函数式无定义的点

步骤二：在x趋近于间断点的时候  看看极限

 例子：

 

 出现：

这种题型得考虑左右极限：

 

 

 零点定理：

 

7

 

 

 零点题型：

1.构造函数

2.带端点到函数判断符号

 

 找渐近线的时候：

1.找x趋近于无穷时找水平渐近线

2.找极限趋近于无穷时找铅直渐近线

导数：

 

 

 1.可导必连续

当减去的右值也是一个变量的时候

我们只能大刀阔斧进行改变

 计算题必须写这样的过程

但是填空题可省略过程

注意：

可导必连续 

何为连续？极限存在时 即为连续 

连续不一定可导

但是当分段的时候

我们就要针对左右导数同时进行判断

 

连续性和可导性：

 

 例子：

 在1处可导·那么在1处一定是连续的

连续那么对于分段函数来说左右极限都相等

可导也一样

左右导数也是相等

 

 一定要发现连续这个性质

可导必连续  连续不一定可导

 注意：

分段函数：

开区间直接求导

分段点处我们要用定义来求导

 

 用定义证明

 

复合函数求导：

 二阶导：

 

 

 

结论：

 习题：

 

 

 

 

由于在0处的导数值极限不存在

因此它在0处是不可导的

 

变式： 

 

 

 

 

常用函数的阶导

莱布尼兹公式： 

 

 

那么遇到一个高阶求导：

怎么判断U怎么判断V呢？

一般来说：U是比较好求导的那个

V是随着求导次方逐渐降低的 

 例子：

一般来说：U是比较好求导的那个

V是随着求导次方逐渐降低的 

所以这里把可以降次数的x设置为v

因为lnx的n阶导容易求出来

因此把lnx设置为u

隐函数：

 例题：

隐函数求导：

对方程两边分别进行求导运算

 

对数求导：

 

 

 先对这个复杂的式子进行两边取对数

然后两边进行求导

参数函数求导：

 

例子：

注意：

这里的dy/dx是y与x的函数式分别进行求导然后进行比值

而不是下图所示

参数方程求二阶导：

一阶导再求一次导/x对t求一次导 

 

 

 

 

 

P8 

 

 

 

对于幂函数 我们取对数求导：

 

 参数方程的一阶导等于：对y表达式进行求导再比上对x进行求导

二阶导：对一阶导表达式求导比上对x表达式进行求导

 

 

 

 

 

 

 罗尔定理：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

当出现表达式相减的时候

我们想着构造函数  利用拉格朗日中值定理

 

泰勒公式：

 

‘尽量背下来：

 

 

 

 

 例子：

展开三阶泰勒公式

拉格朗日余项是四阶导数的

所以要多求一阶的导数

 

 

 

 

 

 

按照x-2展开之后

我们可以知道带入的是f(2) 

求佩亚诺型余项是不需要求多一项的

 

展开到n阶的麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况

当x0=0时进行的展开

那么e的x次方只要展开到n-1阶就可以了

 

麦克劳林公式的余项是佩亚诺型余项

 

 

 

 

 罗尔定理：

 

 

 

柯西中值定理：

 

 

 

 

 

 

利用公式：间接法

 

 

 

 

洛必达：

 

这一种情况分子分母都趋近于无穷大

 但是分子与分母都是震荡变化的 因此求导之后极限是不存在的

那么我们就采用抓大头的方法

找到变化速率最快的x

分子分母同时除以x得出结果

 

 

 

 

 

 

 注意：

 

 

 

 

 

 

 

 拐点一定是坐标的形式

 

 

 

作图的步骤：

 

 

 

 

 

 

 

 习题：

 

 

 

 

 

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