pytorch-优化与深度学习

优化与深度学习

优化与估计

尽管优化方法可以最小化深度学习中的损失函数值，但本质上优化方法达到的目标与深度学习的目标并不相同。

• 优化方法目标：训练集损失函数值
• 深度学习目标：测试集损失函数值（泛化性）

%matplotlib inline
import sys
sys.path.append('/home/kesci/input')
import d2lzh1981 as d2l
from mpl_toolkits import mplot3d # 三维画图3d图
import numpy as np

def f(x): return x * np.cos(np.pi * x)
def g(x): return f(x) + 0.2 * np.cos(5 * np.pi * x)

d2l.set_figsize((5, 3))
x = np.arange(0.5, 1.5, 0.01)
fig_f, = d2l.plt.plot(x, f(x),label="train error")
fig_g, = d2l.plt.plot(x, g(x),'--', c='purple', label="test error")
fig_f.axes.annotate('empirical risk', (1.0, -1.2), (0.5, -1.1),arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
fig_g.axes.annotate('expected risk', (1.1, -1.05), (0.95, -0.5),arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('risk')
d2l.plt.legend(loc="upper right")
    # str是给数据点添加注释的内容，支持输入一个字符串
    # xy=是要添加注释的数据点的位置
    # xytext=是注释内容的位置
    # bbox=是注释框的风格和颜色深度，fc越小，注释框的颜色越深，支持输入一个字典
    # va="center",  ha="center"表示注释的坐标以注释框的正中心为准，而不是注释框的左下角(v代表垂直方向，h代表水平方向)
    # xycoords和textcoords可以指定数据点的坐标系和注释内容的坐标系，通常只需指定xycoords即可，textcoords默认和xycoords相同
    # arrowprops可以指定箭头的风格支持，输入一个字典
# 所以总体来说,我们的目标是为了找到测试集合的最小损失

优化在深度学习中的挑战

1. 局部最小值
2. 鞍点
3. 梯度消失

局部最小值

$$f(x)=x\cos \pi x$$

def f(x):
    return x * np.cos(np.pi * x)

d2l.set_figsize((4.5, 2.5))
x = np.arange(-1.0, 2.0, 0.1)
fig,  = d2l.plt.plot(x, f(x))
fig.axes.annotate('local minimum', xy=(-0.3, -0.25), xytext=(-0.77, -1.0),
                  arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
fig.axes.annotate('global minimum', xy=(1.1, -0.95), xytext=(0.6, 0.8),
                  arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('f(x)');
# 局部最小值和全局最小值

鞍点

• 鞍点（Saddle point）在微分方程中，沿着某一方向是稳定的，另一条方向是不稳定的奇点，叫做鞍点。 在泛函中，既不是极大值点也不是极小值点的临界点，叫做鞍点。 在矩阵中，一个数在所在行中是最大值，在所在列中是最小值，则被称为鞍点。 在物理上要广泛一些，指在一个方向是极大值，另一个方向是极小值的点。

x = np.arange(-2.0, 2.0, 0.1)
fig, = d2l.plt.plot(x, x**3)
fig.axes.annotate('saddle point', xy=(0, -0.2), xytext=(-0.52, -5.0),
                  arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('f(x)');

$$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right]$$

e.g.

x, y = np.mgrid[-1: 1: 31j, -1: 1: 31j]
# print(x)
# print(y)
# 一个是行展开,一个是列展开
z = x**2 - y**2

d2l.set_figsize((6, 4))
ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 2, 'cstride': 2})
ax.plot([0], [0], [0], 'ro', markersize=10)
ticks = [-1,  0, 1]
d2l.plt.xticks(ticks)
d2l.plt.yticks(ticks)
ax.set_zticks(ticks)
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('y');
#从下图看，从一个方向看，他是极大值点，另一个方向看，它是极小值点

梯度消失

x = np.arange(-2.0, 5.0, 0.01)
fig, = d2l.plt.plot(x, np.tanh(x))
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('f(x)')
fig.axes.annotate('vanishing gradient', (4, 1), (2, 0.0) ,arrowprops=dict(arrowstyle='->'))

Text(2, 0.0, 'vanishing gradient')

凸性 （Convexity）：两点连线上的点也在图形内部

基础

集合

函数

$$\lambda f(x)+(1-\lambda )f\left(x^{\prime }\right)\ge f\left(\lambda x+(1-\lambda )x^{\prime }\right)$$

def f(x):
    return 0.5 * x**2  # Convex

def g(x):
    return np.cos(np.pi * x)  # Nonconvex

def h(x):
    return np.exp(0.5 * x)  # Convex

x, segment = np.arange(-2, 2, 0.01), np.array([-1.5, 1])
d2l.use_svg_display()
_, axes = d2l.plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3))

for ax, func in zip(axes, [f, g, h]):
    ax.plot(x, func(x))
    ax.plot(segment, func(segment),'--', color="purple")
    # d2l.plt.plot([x, segment], [func(x), func(segment)], axes=ax)

Jensen 不等式:数学归纳法证明

$$\sum _i{\alpha }_{i}f\left(x_i\right)\ge f\left(\sum _i{\alpha }_i{x}_i\right)\text{ and }{E}_x[f(x)]\ge f\left(E_x[x]\right)$$

---

性质

1. 无局部极小值
2. 与凸集的关系
3. 二阶条件

无局部最小值

证明：假设存在 $x\in X$ 是局部最小值，则存在全局最小值 $x^{\prime }\in X$, 使得 $f(x)>f(x^{\prime })$, 则对 $\lambda \in (0,1]$:

$$f(x)>\lambda f(x)+(1-\lambda )f(x^{\prime })\ge f(\lambda x+(1-\lambda )x^{\prime })$$

与凸集的关系

对于凸函数 $f(x)$，定义集合 $S_b:=\{x|x\in X\text{ and }f(x)\le b\}$，则集合 $S_b$ 为凸集

证明：对于点 $x,x^{\prime }\in S_b$, 有 $f\left(\lambda x+(1-\lambda )x^{\prime }\right)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f\left(x^{\prime }\right)\le b$, 故 $\lambda x+(1-\lambda )x^{\prime }\in S_b$

$f(x,y)=0.5x^2+\cos (2\pi y)$

x, y = np.meshgrid(np.linspace(-1, 1, 101), np.linspace(-1, 1, 101),
                   indexing='ij')

z = x**2 + 0.5 * np.cos(2 * np.pi * y)

# Plot the 3D surface
d2l.set_figsize((6, 4))
ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 10, 'cstride': 10})
ax.contour(x, y, z, offset=-1)
ax.set_zlim(-1, 1.5)

# Adjust labels
for func in [d2l.plt.xticks, d2l.plt.yticks, ax.set_zticks]:
    func([-1, 0, 1])

凸函数与二阶导数

$f^{{}^{\prime \prime }}(x)\ge 0⟺f(x)$ 是凸函数

必要性 ($\Leftarrow$):

对于凸函数：

$$\frac{1}{2}f(x+ϵ)+\frac{1}{2}f(x-ϵ)\ge f\left(\frac{x+ϵ}{2}+\frac{x-ϵ}{2}\right)=f(x)$$

故:

$$f^{\prime \prime }(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+ϵ)-f(x)}{ϵ}-\frac{f(x)-f(x-ϵ)}{ϵ}}{ϵ}$$

$$f^{\prime \prime }(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f(x+ϵ)+f(x-ϵ)-2f(x)}{{ϵ}^2}\ge 0$$

充分性 ($\Rightarrow$):

令 $a<x<b$ 为 $f(x)$ 上的三个点，由拉格朗日中值定理:

$$\begin{array}{l}f(x)-f(a)=(x-a)f^{\prime }(\alpha )\text{ for some }\alpha \in [a,x]\text{ and }\\ f(b)-f(x)=(b-x)f^{\prime }(\beta )\text{ for some }\beta \in [x,b]\end{array}$$

根据单调性，有 $f^{\prime }(\beta )\ge f^{\prime }(\alpha )$, 故:

$$\begin{array}{rl}f(b)-f(a)& =f(b)-f(x)+f(x)-f(a)\\ & =(b-x)f^{\prime }(\beta )+(x-a)f^{\prime }(\alpha )\\ & \ge (b-a)f^{\prime }(\alpha )\end{array}$$

def f(x):
    return 0.5 * x**2

x = np.arange(-2, 2, 0.01)
axb, ab = np.array([-1.5, -0.5, 1]), np.array([-1.5, 1])

d2l.set_figsize((3.5, 2.5))
fig_x, = d2l.plt.plot(x, f(x))
fig_axb, = d2l.plt.plot(axb, f(axb), '-.',color="purple")
fig_ab, = d2l.plt.plot(ab, f(ab),'g-.')

fig_x.axes.annotate('a', (-1.5, f(-1.5)), (-1.5, 1.5),arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
fig_x.axes.annotate('b', (1, f(1)), (1, 1.5),arrowprops=dict(arrowstyle='->'))
fig_x.axes.annotate('x', (-0.5, f(-0.5)), (-1.5, f(-0.5)),arrowprops=dict(arrowstyle='->'))

Text(-1.5, 0.125, 'x')

限制条件

$$\begin{array}{l}\underset{\mathbf{x}}{\mathrm{minimize}}f(\mathbf{x})\\ \text{ subject to }{c}_i(\mathbf{x})\le 0\text{ for all }i\in \{1,\dots ,N\}\end{array}$$

拉格朗日乘子法

Boyd & Vandenberghe, 2004

$$L(\mathbf{x},\alpha )=f(\mathbf{x})+\sum _i{\alpha }_i{c}_i(\mathbf{x})\text{ where }{\alpha }_i\ge 0$$

惩罚项

欲使 $c_i(x)\le 0$, 将项 ${\alpha }_i{c}_i(x)$ 加入目标函数，如多层感知机章节中的 $\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$

投影

$${\mathrm{Proj}}_X(\mathbf{x})=\underset{{\mathbf{x}}^{\prime }\in X}{\mathrm{argmin}}{\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }\Vert }_2$$

总结

• 鞍点是对所有自变量一阶偏导数都为0，且Hessian矩阵特征值有正有负的点,代表在某一个方向是极大值点,某一个方向是极小值点
• 假设A和B都是凸集合，那以下是凸集合的是：A和B的交集