欧拉函数的积性证明

欧拉函数的积性证明

积性函数

积性函数 是指对于函数$f$，当$gcd(m,n)=1$时，$f(m)f(n)=f(mn)$。

完全积性函数 是指对于函数$f$，$f(m)(n)=f(mn)$。

下面我们将证明欧拉函数是积性函数。

证明

目标等式： $\varphi (m)\varphi (n)=\varphi (mn)$

符号约定

$\varphi (n)$：欧拉函数

$X$ ： $m$ 的简化剩余系

$Y$ ： $n$ 的简化剩余系

$Z$ ： $mn$ 的简化剩余系

$x_i$ ：$X$ 的代表元素

$y_i$ ： $Y$ 的代表元素

$z$ ： $Z$ 的代表元素

$(x,y)$ ： $x，y$ 的最大公约数

证明思路

我们构造等式 $x_{i}n+y_{j}m$ ，我们想要证明 $\{x_{i}n+y_{j}m\}$ 和 $mn$ 的简化剩余系 $Z$ 之间存在一个双射关系，也就是说 $x_{i}n+y_{j}m$ 的个数与 $mn$ 的简化剩余系的个数相同。

同时，我们将证明 $x_{i}n+y_{j}m$ 当 $i，j$ 不同时不在同一剩余类中。这样得到 $x_{i}n+y_{i}m$ 可以表示 $\varphi (m)\varphi (n)$ 个不同的剩余类。目标等式得证。所以我们将证明：

1. $x_{i}n+y_{j}m\in Z$ ，即 $gcd(x_{i}n+y_{j}m,mn)=1$
2. $\forall z,\exists i,j,\text{ s.t. }{x}_{i}n+y_{j}m\equiv z(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mn)$
3. 对于任意一个有序二元组$(i,j)\ne (k,l)$，$x_in+y_jm \equiv x_kn+y_lm \pmod{mn} $

$1,2$ 实际上证明了双射关系，$3$ 则证明了不在同一剩余类。

证明过程

对1的证明

$$(x_i,m)=1⟹(x_{i}n,m)=1⟹(x_{i}n,mn)=1\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$(y_i,n)=1⟹(y_{i}m,n)=1⟹(y_{i}m,mn)=1\text{\hspace{1em}(2)}$$

由 $(1)，(2)$ 得 $$(x_{i}m+y_{j}m,mn)=1$$

对2的证明

由 $(m,n)=1$ 可得，存在 $p，q$ 使得 $mp+nq=z$。

那么，我们可以得到：

$$(z,mn)=1\Rightarrow (mp+nq,mn)=1\Rightarrow (mp+nq,m)=1\Rightarrow (nq,m)=1\Rightarrow (q,m)=1$$

由此可得，$q$ 在 $m$ 的简化剩余系中，所以 $\exists x_i,x_i\equiv q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，可以推得
$$x_{i}n\equiv qn(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mn)\text{\hspace{1em}(3)}$$

同理，我们可以得到：
$$y_{j}m\equiv pm(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mn)\text{\hspace{1em}(4)}$$

由 $(3),(4)$ 我们可以得到：

$$x_{i}n+y_{j}m\equiv qn+pm\equiv z(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mn)$$

对3的证明

应用反证法，我们假设存在这样的有序二元组 $(i,j)$ 和 $(k,l)$ 满足 $(i,j)\ne (k,l)$ 使得 $x_in+y_jm\equiv x_kn+y_lm \pmod{mn} $ ，那么我们有 ：

$x_{i}n+y_{j}m\equiv x_{k}n+y_{l}m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\Rightarrow x_{i}n\equiv x_{k}n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\Rightarrow x_i\equiv x_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ ，而由题设我们可以知道 $\forall i\ne k,x_i\not\equiv x_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，所以矛盾。

所以对于任意一个有序二元组$(i,j)\ne (k,l)，$ $x_in+y_jm\equiv x_kn+y_lm \pmod{mn} $ 得证。

综上，证得欧拉函数为积性函数。