递归2(汉诺塔及移动轨迹)

汉诺塔问题简介

相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘(如图1)。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

分析

这是典型的递归问题，假设有n个盘子，要将n个盘子从A移动到C，那么只需要三个步骤：将上方的n-1个盘子整体移动到B，然后将最下面的第n个盘子移动到C,最后将B上n-1个盘子移动到C上，问题便得以解决。

现在的问题在于，看起来我们违反了游戏规则，n并不等于2，那么一次性移动了上面的n-1盘子是如何做到的呢？

这个便是递归思路了，如何移动上面的n-1盘子，很简单，先移动上面的n-2个盘子，再移动第n-1盘子，但是同样的问题又来了如果n-2不为1呢？那么我们继续这个思路，比如经过m次后，先移动上面的n-m个盘子，再移动第n-m+1盘子，当n-m=1时我们便停止分解问题。

停止条件

从分析中很容易看出来，停止条件便是n-m=1,如果m=0，便是不需要分解问题，只有一个盘子，直接将这个盘子从A移动到C。

重复规律

将上方的n-1个盘子从A移动到B，然后将下面的第n个盘子从A移动到C，最后将n-1盘子从B移动到C。

代码

# 定义汉诺塔移法的函数
def hanoi(n, a, b, c):  # n为汉诺塔层数，a、b、c为三根柱子
    if n == 1:
        print(a, '-->', c)
    else:
        hanoi(n - 1, a, c, b)
        print(a, '-->', c)
        hanoi(n - 1, b, a, c)


if __name__ == '__main__':
    hanoi(4, 'A', 'B', 'C')

输出汉诺塔移动轨迹

A --> B
A --> C
B --> C
A --> B
C --> A
C --> B
A --> B
A --> C
B --> C
B --> A
C --> A
B --> C
A --> B
A --> C
B --> C

步数：$2^4-1=15步$

turtle实现移动过程

代码

import turtle


class Stack:
    def __init__(self):
        self.items = []

    def is_empty(self):
        return len(self.items) == 0

    def push(self, item):
        self.items.append(item)

    def pop(self):
        return self.items.pop()

    def peek(self):
        if not self.is_empty():
            return self.items[len(self.items) - 1]

    def size(self):
        return len(self.items)


def draw_poles():  # 画出汉诺塔的poles
    t = turtle.Turtle()
    t.hideturtle()

    def draw_pole(k):
        t.up()
        t.pensize(10)
        t.speed(100)
        t.goto(400 * (k - 1), 100)
        t.down()
        t.goto(400 * (k - 1), -100)
        t.goto(400 * (k - 1) - 20, -100)
        t.goto(400 * (k - 1) + 20, -100)

    draw_pole(0)  # 画出汉诺塔的poles[0]
    draw_pole(1)  # 画出汉诺塔的poles[1]
    draw_pole(2)  # 画出汉诺塔的poles[2]


def creat_plates(n):  # 制造n个盘子
    plates = [turtle.Turtle() for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        plates[i].up()
        plates[i].hideturtle()
        plates[i].shape("square")
        plates[i].shapesize(1, 8 - i)
        plates[i].goto(-400, -90 + 20 * i)
        plates[i].showturtle()
    return plates


def pole_stack():  # 制造poles的栈
    return [Stack() for _ in range(3)]


def moveDisk(plates, poles, fp, tp):  # 把poles[fp]顶端的盘子plates[mov]从poles[fp]移到poles[tp]
    mov = poles[fp].peek()
    plates[mov].goto((fp - 1) * 400, 150)
    plates[mov].goto((tp - 1) * 400, 150)
    l = poles[tp].size()  # 确定移动到底部的高度（恰好放在原来最上面的盘子上面）
    plates[mov].goto((tp - 1) * 400, -90 + 20 * l)


def moveTower(plates, poles, height, fromPole, toPole, withPole):  # 递归放盘子
    if height >= 1:
        moveTower(plates, poles, height - 1, fromPole, withPole, toPole)
        moveDisk(plates, poles, fromPole, toPole)
        poles[toPole].push(poles[fromPole].pop())
        moveTower(plates, poles, height - 1, withPole, toPole, fromPole)


n = 7
screen = turtle.Screen()
screen.setup(1000, 800)
draw_poles()
plates = creat_plates(7)
poles = pole_stack()
for i in range(n):
    poles[0].push(i)
moveTower(plates, poles, n, 0, 2, 1)
screen.exitonclick()