概率论【合集】--猴博士爱讲课

重点章节

条件概率，期望等等

第一课 随机事件和概率

1/6 无放回类题目(一次摸多个)

$$\begin{gathered} 例1.盒子里有3绿4红共7个小球，无放回的摸3个试求摸出1绿2红的概率 \\ 例2.钱包里有3张100元，5张10元，3张5元的纸币，随机摸3张，试求摸出1张100,2张10的概率 \end{gathered}$$

【无放回，直接用C解】

古典概型

排列与组合

2/6 有放回题目(进行多次，每次情况一致)

3/6 事件的概率

4/6 条件概率

①条件概率

②相互独立

法二：
$$\begin{gathered} P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)=1-\frac{P(AB)}{P(B)} \\ 由于AB相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B) \\ P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)=1-\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=0.6 \end{gathered}$$

5/6 全概率公式

6/6 贝叶斯公式

贝叶斯其实是条件概率反过来求。其实就是**已知结果求原因**

第二课 离散型随机变量

1/6 求分布律里的未知数

2/6 根据X的分布律写Y的分布律

一维随机变量函数的分布

注意

3/6 根据(X,Y) 的分布律写Z的分布律

4/6 根据(X,Y)的分布律写边缘分布律

边缘分布

5/6 X与Y相互独立时的联合分布律

6/6 根据分布律求期望、方差

①离散型随机变量的数学期望

②离散型随机变量的方差

③一维随机变量函数的分布

第三课 连续型需要的积分

1/4 求分段函数在确定区闻的定积分

2/4 求分段函数在-∞到未知数的定积分

3/4 求简单的二重积分

4/4 求f(x,y)的二重积分

第四课 一维连续型随机变量

1/7 已知fx(x)求概率

P=F,F是对应概率密度函数f上的积分

2/7 求fx(x) 中的未知数

归一性

【取遍-∞到+∞】

3/7 已知f(x)求F

4/7 求F中的未知数

由于分布函数F是右连续函数，所以条件三成立

5/7 已知F求f

分布函数的反求

6/7 已知f求f

①连续型–>连续型(混合型)

②例题

7/7 已知f求期望、方差

①X的数学期望

②方差

4.常见的五种分布

1/6 符合均匀分布，求概率

均匀分布U(a,b)

2/6 符合泊松分布，求概率

泊松分布P(A)

【lambda是参数，x是某某次数】

如果是这样的，千万不要用1-P(X=6)这种，要一个一个算！

3/6符合二项分布，求概率

4/6 符合指数分布，求概率

5/6 符合正态分布，求概率

正态分布

6/6 正态分布图像

1.面积表示概率，整个正态分布图像的总面积为1

2.图像关于u对称

3.o越小，图像越陡 【标准差o】

5.离散型二维变量与连续性二维变量（上）

1/8 已知二维离散型分布律，求???

离散型直接看表

【做题方法参考如下】

2/8 已知二维离散型分布律，判断独立性

如果满足p(xy) = p(x) * p(y)，那么相互独立

则我们只需要验证每一个p(xy) = p(x) * p(y)，就可以验证独立性

例1：

例2：

3/8 已知F(x,y)求f(x,y)

F(x,y)是联合分布函数

f(x,y)是联合概率密度

例1：

4/8 已知f(x,y)求F(x,y)

1. 找出f(x,y)不等于0时x的范围和y的范围
2. 计算结果
3. 带入计算
4. 区域

二维连续型随机变量的概率密度

做题步骤

5/8 已知F(x,y)求P

记住公式然后带入

例一：

例二：

6/8 已知f(x,y)求P

注意解题步骤，求范围再带入求更细的范围【进一步缩小求值范围】，再带入二重积分中

例一：

例二：

7/8求F(x，y)或f(x，y)中含有的未知数

记住下面的式子

8/8 求均匀分布的f(x,y)与P

记住下面的式子

6.连续型二维变量（下）

1/7 求边缘分布函数

边缘概率密度

边缘概率密度

2/7 求边缘密度函数

边缘概率密度

3/7 判断连续型二维变量的独立性

F(x,y) = Fx(X) * Fy(Y)那么X、Y互相独立

f(x,y) = fx(X) * fy(Y)那么X、Y互相独立

这种题目带入验证就可以了

先求出 fx(X) 和 fy(Y)带入计算验证就OK了

如何求出 fx(X) 和 fy(Y)在上一个题型说了

4/7 已知f(x,y),Z=X+Y,求fz(Z)

（卷积公式）

利用公式进行分类讨论就好啦

5/7 已知f(x,y),Z=x/y,求fz(Z)

同理4/7

6/7 已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=max(X,Y),求Fz(Z)

记住一个公式：Fz(Z) = Fx(Z)*Fy(Z)

7/7 已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=min(X,Y),求Fz(Z)

同上面6/7的题目的公式不一样：Fz(Z)=1-[1-Fx(Z)]*[1-Fy(Z)]

7.随机变量的数字特征（上）

1/6 求离散型的期望E(X)

离散型随机变量的期望

2/6 求连续型的期望E(X)

连续型随机变量的期望

3/6 已知Y=g(x),求E(Y)

连续型随机变量函数的期望

例题1（离散型）：

例题2（连续型）：

4/6 求方差D(X)

记住两个公式（主要是第二个D(x)=E(x2)-[E(x)2]

例题1（离散型）：

例题2（连续型）：

5/6 根据E(x)、D(x)的性质进行复杂运算

例题：

6/6 E(x)、D(x)与各种分布的综合题

各种分布的公式：

例题1：（二项分布）

例题2：（泊松分布）

8.随机变量的数字特征（下）与中心极限定理

1/3 Cov、ρxy、D相关类题目

两个随机变量的协方差与相关系数

例题1：

例题2：

2/3 利用切比雪夫不等式求概率

切比雪夫不等式

例题:

3/3 多项独立同分布，求总和怎样的概率

还是看公式：

例题1:

例题2：