仿射相关与线性相关

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线性组合与仿射组合

给定n个向量 v1,v2...vn ，其线性组合为 ∑i=1naivi ，其中， a1,a2,a3...ai 是标量。
仿射组合是线性组合的一种，只是要求组合系数之和为1。
v1,v2...vn 的仿射组合是 ∑i=1naivi ，当且仅当 ∑i=1nai=1

线性相关与线性独立

通俗来讲，对于一组向量，如果其中任一向量都不能被其他向量线性组合而成则称线性无关或者线性独立。

从数学上来说：给定n个向量如下

v1,v2...vn

如果存在n个不全为0的标量 a1,a2,a3...an 使得:

a1v1+a2v2+...+anvn=0
称 v1,v2...vn 线性相关，否则称 v1,v2...vn 线性独立。

仿射相关与仿射独立

通俗来讲，对于一组向量，如果其中任一向量都不能被其他向量仿射组合而成则称仿射无关或者线性独立。
回忆我们的仿射组合的定义，如果存在一个向量 vi 能其他n-1个向量仿射组合而成，则这n个向量仿射相关。
给定n个向量如下 v1,v2...vn
如果存在n个不全为0的标量 a1,a2,a3...an 使得:

a1v1+a2v2+...+anvn=0
且 a1+a2+...+an=0
则称 v1,v2...vn 仿射相关，否则称 v1,v2...vn 仿射独立。
下面我们将这个数学定义推到成仿射组合的形式：
假设其中 ai≠0 ，则 −aivi=∑j≠inajvj
由于 a1+a2+...+an=0 所以 −ai=a1+a2,ai−1,ai+1...+an
所以 vi=∑j≠inbjvj ,其中 bj=aj∑j≠iaj
注意这里 ∑j≠ibj=1 则 vi 是由其他n-1个向量仿射组合而成。

联系

如果 v2−v1,v3−v1,v4−v1...,vn−v1 线性独立，则 v1,v2...vn 仿射独立，反之亦然。
反证法如下：
假设 v1,v2...vn 仿射相关。
则 a1v1−a1v1+a2v2−a2v1+...a1v1+anvn−anv1=−∑j=1najv1=0=a1v1+a2v2+...+anvn
则 ∑j=2naj(vj−v1)=0
则 v2−v1,v3−v1,v4−v1...,vn−v1 线性相关与已知条件矛盾，故成立，证毕。