似然函数代码c语言,从似然函数到EM算法(附代码实现)

1. 什么是EM算法

最大期望算法(Expectation-maximization algorithm，又译为期望最大化算法)，是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐性变量。

最大期望算法经过两个步骤交替进行计算，

第一步是计算期望(E)，利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值；

第二步是最大化(M)，最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中，这个过程不断交替进行。

极大似然估计用一句话概括就是：知道结果，反推条件θ。

1.1 似然函数

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性。而极大似然就相当于最大可能的意思。

比如你一位同学和一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过。只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于你那位同学命中的概率，从而推断出这一枪应该是猎人射中的。

这个例子所作的推断就体现了最大似然法的基本思想。

多数情况下我们是根据已知条件来推算结果，而最大似然估计是已经知道了结果，然后寻求使该结果出现的可能性最大的条件，以此作为估计值。

1.3 极大似然函数的求解步骤

假定我们要从10万个人当中抽取100个人来做身高统计，那么抽到这100个人的概率就是(概率连乘)：

现在要求的就是这个

值，也就是使得

的概率最大化，那么这时的参数

就是所求。

为了便于分析，我们可以定义对数似然函数，将其变成连加的形式：

对于求一个函数的极值，通过我们在本科所学的微积分知识，最直接的设想是求导，然后让导数为0，那么解这个方程得到的θ就是了(当然，前提是函数L(θ)连续可微)。但，如果θ是包含多个参数的向量那怎么处理呢？当然是求L(θ)对所有参数的偏导数，也就是梯度了，从而n个未知的参数，就有n个方程，方程组的解就是似然函数的极值点了，最终得到这n个参数的值。

求极大似然函数估计值的一般步骤：

写出似然函数；

对似然函数取对数，并整理；

求导数，令导数为0，得到似然方程；

解似然方程，得到的参数即为所求；

1.4 EM算法

两枚硬币A和B，假定随机抛掷后正面朝上概率分别为PA，PB。为了估计这两个硬币朝上的概率，咱们轮流抛硬币A和B，每一轮都连续抛5次，总共5轮：

硬币

结果

统计

A

正正反正反

3正-2反

B

反反正正反

2正-3反

A

正反反反反

1正-4反

B

正反反正正

3正-2反

A

反正正反反

2正-3反

硬币A被抛了15次，在第一轮、第三轮、第五轮分别出现了3次正、1次正、2次正，所以很容易估计出PA，类似的，PB也很容易计算出来(真实值)，如下：

PA = (3+1+2)/ 15 = 0.4

PB= (2+3)/10 = 0.5

问题来了，如果我们不知道抛的硬币是A还是B呢(即硬币种类是隐变量)，然后再轮流抛五轮，得到如下结果：

硬币

结果

统计

Unknown

正正反正反

3正-2反

Unknown

反反正正反

2正-3反

Unknown

正反反反反

1正-4反

Unknown

正反反正正

3正-2反

Unknown

反正正反反

2正-3反

OK，问题变得有意思了。现在我们的目标没变，还是估计PA和PB，需要怎么做呢？

显然，此时我们多了一个硬币种类的隐变量，设为z，可以把它认为是一个5维的向量(z1,z2,z3,z4,z5)，代表每次投掷时所使用的硬币，比如z1，就代表第一轮投掷时使用的硬币是A还是B。

但是，这个变量z不知道，就无法去估计PA和PB，所以，我们必须先估计出z，然后才能进一步估计PA和PB。

可要估计z，我们又得知道PA和PB，这样我们才能用极大似然概率法则去估计z，这不是鸡生蛋和蛋生鸡的问题吗，如何破？

答案就是先随机初始化一个PA和PB，用它来估计z，然后基于z，还是按照最大似然概率法则去估计新的PA和PB，然后依次循环，如果新估计出来的PA和PB和我们真实值差别很大，直到PA和PB收敛到真实值为止。

我们不妨这样，先随便给PA和PB赋一个值，比如：

硬币A正面朝上的概率PA = 0.2

硬币B正面朝上的概率PB = 0.7

然后，我们看看第一轮抛掷最可能是哪个硬币。

如果是硬币A，得出3正2反的概率为 0.20.20.20.80.8 = 0.00512

如果是硬币B，得出3正2反的概率为0.70.70.70.30.3=0.03087

然后依次求出其他4轮中的相应概率。做成表格如下：

轮数

若是硬币A

若是硬币B

1

0.00512，即0.2 0.2 0.2 0.8 0.8，3正-2反

0.03087，3正-2反

2

0.02048，即0.2 0.2 0.8 0.8 0.8，2正-3反

0.01323，2正-3反

3

0.08192，即0.2 0.8 0.8 0.8 0.8，1正-4反

0.00567，1正-4反

4

0.00512，即0.2 0.2 0.2 0.8 0.8，3正-2反

0.03087，3正-2反

5

0.02048，即0.2 0.2 0.8 0.8 0.8，2正-3反

0.01323，2正-3反

按照最大似然法则：

第1轮中最有可能的是硬币B

第2轮中最有可能的是硬币A

第3轮中最有可能的是硬币A

第4轮中最有可能的是硬币B

第5轮中最有可能的是硬币A

我们就把概率更大，即更可能是A的，即第2轮、第3轮、第5轮出现正的次数2、1、2相加，除以A被抛的总次数15(A抛了三轮，每轮5次)，作为z的估计值，B的计算方法类似。然后我们便可以按照最大似然概率法则来估计新的PA和PB。

PA = (2+1+2)/15 = 0.33

PB =(3+3)/10 = 0.6

就这样，不断迭代 不断接近真实值，这就是EM算法的奇妙之处。

可以期待，我们继续按照上面的思路，用估计出的PA和PB再来估计z，再用z来估计新的PA和PB，反复迭代下去，就可以最终得到PA = 0.4，PB=0.5，此时无论怎样迭代，PA和PB的值都会保持0.4和0.5不变，于是乎，我们就找到了PA和PB的最大似然估计。

总结一下计算步骤：

随机初始化分布参数θ

E步，求Q函数，对于每一个i，计算根据上一次迭代的模型参数来计算出隐性变量的后验概率(其实就是隐性变量的期望)，来作为隐藏变量的现估计值：

M步，求使Q函数获得极大时的参数取值)将似然函数最大化以获得新的参数值

然后循环重复2、3步直到收敛。

详细的推导过程请参考文末的参考文献。

2. 采用 EM 算法求解的模型有哪些？

用EM算法求解的模型一般有GMM或者协同过滤，k-means其实也属于EM。EM算法一定会收敛，但是可能收敛到局部最优。由于求和的项数将随着隐变量的数目指数上升，会给梯度计算带来麻烦。

3.代码实现

3.png

4. 参考文献