几何角度理解线性代数（3）：点积与叉积

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Take Home Message

对偶性：

• 每当你看到多维空间到数轴的线性变换时，其都会与空间中的某一个向量对应，也就是说，应用线性变换，与直接与该向量点乘是一码事。
  而这个向量，就叫做该变换的对偶向量。
  
• 叉乘

点积

点积的标准观点

数值计算方式：

几何含义：

从线性变换的角度看点积

其他

叉积

叉积的标准观点

叉积的顺序不可交换：

不严谨的二维叉积的计算方式：

严格的叉积定义是，两个三维向量产生新的三维向量：

从线性变换的角度看叉积

从多维空间变换到一维空间的过程中，可以找到一个向量使得整个变换可以看作与这个特定向量的点积。也即对偶性质。

那么，我们定义这样的寻找计划：

回顾一下二维情况下不严谨的叉积计算：

很自然的，如果我们想要外推到三维情况下，就会这么想（先声明这是不对的）：

但显然，这是不对的，因为这并不是三维的叉积，三维的叉积只会输入两个向量，而输出一个向量。然而，我们借助这种直观但错误的想法，不妨将$u$看作可变向量，进而收获一个函数（注意，这是理解叉积的关键）：

我们知道，这个函数是线性的，也就是说，我们可以找到一个向量$p$使得$p$与其他任何一个向量的点积等于一个3×3矩阵的行列式：

我们现在考虑计算过程:

将上式进行整理,可以得到：

只是我们可以发现该过程跟直接加上$\hat{i}$、$\hat{j}$和$\hat{k}$并无区别：

再考虑几何过程。
我们首先定义一个三维空间到数轴的线性变换，且该变换由$v$和$w$来定义，此时，我们可以找到一个对偶向量，使得应用该变换与直接与对偶向量形成等价关系。
在几何角度上，我们可以认为这个对偶向量，一定与$v$和$w$垂直，且长度与这两个向量张成的平行四边形的面积相同。

为什么呢？

因为，我们可以知道等式右边的行列式就代表着平行六边形的体积，而点积代表着投影长度与向量长度的乘积，那要等式成立，要找的对偶向量就应该是长度为平行四边形的面积，且方向垂直于平行四边形。

我们之前通过数值方式所找到的向量$p$与几何角度上找到的向量是完全一致的。
至此，我们就完成了对偶向量$p$的寻找。