量子退火Python实战（1）：车辆路径问题（VRP : Vehicle Routing Problem）

---

前言

提示：本系列主要讲解如何用python实现常见组合优化问题中的QUBO公式：

量子退火作为解决组合优化问题的利器，车辆路径问题（VRP : Vehicle Routing Problem）是最经常被提起的现实应用。该问题的定义和特点如下：

• 车辆路径问题 (VRP) 是优化多辆送货车辆的送货顺序的组合优化问题，是旅行商问题 (TSP) 的推广。

• 这是一个可以应用于各种现实世界问题的问题，例如物流中的货物配送、工厂中的货物搬运，以及按需运输服务中的车辆分配计划。

• VRP 是一个典型的组合优化问题，也是经典的NP-Hard问题，普通计算机很难在多项式时间内找到精确解。

• 量子退火有望利用量子隧穿效应实时解决 NP-Hard 组合优化问题。

---

一、车辆路径问题（VRP）的QUBO建模

本章节主要参考以下论文：
齋藤和広, 大山重樹, 梅木智光, 黒川茂莉, 小野智弘, "配送計画問題への量子アニーリング適用に関する初期評価" DEIM2020 D2-4(day1 p25) https://proceedings-of-deim.github.io/DEIM2020/papers/D2-4.pdf

作为一个基本的VRP，我们考虑了当多辆运送车辆访问所有目标基地时，搜索总旅行成本最小的路线的组合优化问题。

我们假设所有的送货车辆都从一个叫做 Depot 的基地出发，并且总是在最后返回到 Depot。移动成本使用基地之间的距离计算。距离矩阵的实现如下：

• VRP的QUBO的定义：
  我们把地点1作为Depot，然后假设有2辆车用来配送4个地点。2辆车的配送示意图如下：

其实大家可以可以把VRP问题理解为，有V辆车，V辆车各自负责不重叠的地点子集，所有车辆负责的地点子集的路径总和最小。

所以这里我们有三个参数需要设定：

• V：车辆个数
• P：地点个数
• S：时间步（TSP建模中，我们不需要设置时间步，因为S=P+1）

小写字母代表变量：

1.目标变量

目标变量如下所示：

我们期待的QUBO矩阵如下图所示，

• 红色矩阵代表车辆1，从地点1==>地点3==>地点1；
• 蓝色矩阵代表车辆2，从地点1==>地点2==>地点4==>地点1。

下面写出目标函数和约束条件：

2.目标函数定义

• 目标函数
  – 其实就是TSP的目标函数，又增加了一个车辆的维度${\sum }_{v=1}^V$。
  

3.约束条件定义

• 约束条件
  – 条件a：第1个时间步的地点必须是Depot地点
  – 条件b：第S个时间步的地点必须是Depot地点
  – 条件c：除了Depot地点，剩余地点必须被访问过一次
  – 条件d：相同时间步，不同车辆v不能在同一地点p

  各个约束条件对应的表达式如下图：
  
  最后转换后的哈密顿量$\mathcal{H}$为:

• $\mathcal{H}={\mathcal{H}}_{obj}+w_1{\mathcal{H}}_a+w_2{\mathcal{H}}_b+w_3{\mathcal{H}}_c+w_4{\mathcal{H}}_d$

• ${\mathcal{H}}_{obj}={\sum }_{v=1}^V{\sum }_{i=1}^P{\sum }_{j=1}^P{\sum }_{s=1}^{S-1}{d}_{ij}{x}_{is}^{(v)}{x}_{j(s+1)}^{(v)}$

• ${\mathcal{H}}_a={\sum }_{v=1}^V{\left(1-x_{11}^{(v)}\right)}^2$

• ${\mathcal{H}}_b={\sum }_{v=1}^V{\left(1-x_{1S}^{(v)}\right)}^2$

• ${\mathcal{H}}_c={\sum }_{p=2}^P{\left(1-{\sum }_{v=1}^V{\sum }_{s=1}^S{x}_{ps}^{(v)}\right)}^2$

• ${\mathcal{H}}_d={\sum }_{v=1}^V{\sum }_{s=1}^s{\left(1-{\sum }_{p=1}^P{x}_{ps}^{(v)}\right)}^2$

二、Python实现VRP的QUBO

本章节主要来自以下代码库：https://github.com/yskmt2018/quantum2020/blob/master/vehicle_routing_problem.ipynb

1.引入库

import math
import pyqubo
import numpy as np
import pandas as pd
from openjij import SQASampler

2.设置参数和距离矩阵

# 车辆个数
V = 3
# 地点个数
L = len(distance[0])
# 最大时间步
S = 10

# 距离矩阵
distance = np.array([
  [0, 548, 776, 696, 582, 274, 502, 194, 308, 194, 536, 502, 452, 1020, 393, 208, 1196, 983, 427, 482, 479, 517],
  [548, 0, 684, 308, 194, 502, 730, 354, 696, 742, 1084, 594, 1102, 298, 741, 582, 712, 1085, 1024, 202, 220, 1050],
  [776, 684, 0, 992, 878, 502, 274, 810, 468, 742, 400, 1278, 1152, 819, 510, 514, 399, 537, 579, 509, 285, 555],
  [696, 308, 992, 0, 114, 650, 878, 502, 844, 890, 1232, 514, 300, 263, 593, 153, 801, 1128, 729, 1230, 317, 946],
  [582, 194, 878, 114, 0, 536, 764, 388, 730, 776, 1118, 400, 511, 886, 168, 514, 396, 594, 886, 190, 729, 1042],
  [274, 502, 502, 650, 536, 0, 228, 308, 194, 240, 582, 776, 270, 343, 716, 535, 1269, 410, 1177, 494, 1133, 651],
  [502, 730, 274, 878, 764, 228, 0, 536, 194, 468, 354, 1004, 144, 353, 408, 220, 636, 514, 1180, 1146, 130, 648],
  [194, 354, 810, 502, 388, 308, 536, 0, 342, 388, 730, 468, 476, 1296, 338, 1100, 1125, 986, 710, 320, 279, 460],
  [308, 696, 468, 844, 730, 194, 194, 342, 0, 274, 388, 810, 263, 138, 145, 740, 1251, 1262, 402, 569, 189, 877],
  [194, 742, 742, 890, 776, 240, 468, 388, 274, 0, 342, 536, 1190, 757, 293, 580, 1195, 124, 268, 505, 309, 602],
  [536, 1084, 400, 1232, 1118, 582, 354, 730, 388, 342, 0, 878, 369, 161, 306, 1074, 1110, 1130, 347, 163, 817, 637],
  [502, 594, 1278, 514, 400, 776, 1004, 468, 810, 536, 878, 0, 381, 1041, 1004, 1251, 406, 578, 1231, 584, 727, 902],
  [452, 1102, 1152, 300, 511, 270, 144, 476, 263, 1190, 369, 381, 0, 720, 1011, 991, 957, 233, 758, 934, 1054, 154],
  [1020, 298, 819, 263, 886, 343, 353, 1296, 138, 757, 161, 1041, 720, 0, 156, 958, 1202, 919, 401, 685, 716, 994],
  [393, 741, 510, 593, 168, 716, 408, 338, 145, 293, 306, 1004, 1011, 156, 0, 798, 270, 298, 618, 246, 766, 957],
  [208, 582, 514, 153, 514, 535, 220, 1100, 740, 580, 1074, 1251, 991, 958, 798, 0, 1244, 516, 710, 1086, 946, 1098],
  [1196, 712, 399, 801, 396, 1269, 636, 1125, 1251, 1195, 1110, 406, 957, 1202, 270, 1244, 0, 1112, 1031, 1106, 785, 913],
  [983, 1085, 537, 1128, 594, 410, 514, 986, 1262, 124, 1130, 578, 233, 919, 298, 516, 1112, 0, 593, 109, 649, 1150],
  [427, 1024, 579, 729, 886, 1177, 1180, 710, 402, 268, 347, 1231, 758, 401, 618, 710, 1031, 593, 0, 676, 785, 602],
  [482, 202, 509, 1230, 190, 494, 1146, 320, 569, 505, 163, 584, 934, 685, 246, 1086, 1106, 109, 676, 0, 394, 263],
  [479, 220, 285, 317, 729, 1133, 130, 279, 189, 309, 817, 727, 1054, 716, 766, 946, 785, 649, 785, 394, 0, 826],
  [517, 1050, 555, 946, 1042, 651, 648, 460, 877, 602, 637, 902, 154, 994, 957, 1098, 913, 1150, 602, 263, 826, 0],
])

3.QUBO实现

• ${\mathcal{H}}_{obj}={\sum }_{v=1}^V{\sum }_{i=1}^P{\sum }_{j=1}^P{\sum }_{s=1}^{S-1}{d}_{ij}{x}_{is}^{(v)}{x}_{j(s+1)}^{(v)}$

def build_objective(x: pyqubo.array.Array) -> pyqubo.core.express.AddList:
  H = sum(distance[l_from][l_to] * x[v][s][l_from] * x[v][s+1][l_to]
          for v in range(V)
          for s in range(S-1)
          for l_from in range(L)
          for l_to in range(L)
          )
  return H

• ${\mathcal{H}}_a={\sum }_{v=1}^V{\left(1-x_{11}^{(v)}\right)}^2$

def build_depot_start_rule(x: pyqubo.array.Array) -> pyqubo.core.express.Constraint:
  H = pyqubo.Constraint(
      sum((x[v][0][0] - 1)**2 for v in range(V)),
      'w_0')
  return H

• ${\mathcal{H}}_b={\sum }_{v=1}^V{\left(1-x_{1S}^{(v)}\right)}^2$

def build_depot_end_rule(x: pyqubo.array.Array) -> pyqubo.core.express.Constraint:
  H = pyqubo.Constraint(
      sum((x[v][S-1][0] - 1)**2 for v in range(V)),
      'w_1')
  return H

• ${\mathcal{H}}_c={\sum }_{p=2}^P{\left(1-{\sum }_{v=1}^V{\sum }_{s=1}^S{x}_{ps}^{(v)}\right)}^2$

def build_vehicle_stay_rule(x: pyqubo.array.Array) -> pyqubo.core.express.Constraint:
  H = pyqubo.Constraint(
      sum(
          (sum(x[v][s][l] for l in range(L)) - 1)**2
          for v in range(V)
          for s in range(S)),
          'w_2')
  return H

• ${\mathcal{H}}_d={\sum }_{v=1}^V{\sum }_{s=1}^s{\left(1-{\sum }_{p=1}^P{x}_{ps}^{(v)}\right)}^2$

def build_location_visit_rule(x: pyqubo.array.Array) -> pyqubo.core.express.Constraint:
  H = pyqubo.Constraint(
      sum(
          (sum(x[v][s][l] for v in range(V) for s in range(S)) - 1)**2
          for l in range(1, L)),
          'w_3')
  return H

• $\mathcal{H}={\mathcal{H}}_{obj}+w_1{\mathcal{H}}_a+w_2{\mathcal{H}}_b+w_3{\mathcal{H}}_c+w_4{\mathcal{H}}_d$

# Vehicle Routing
x = pyqubo.Array.create('x', shape=(V,S,L), vartype='BINARY')
%%time
H = build_objective(x) + \
  pyqubo.Placeholder('w_1') * build_depot_start_rule(x) + \
  pyqubo.Placeholder('w_2') * build_depot_end_rule(x) + \
  pyqubo.Placeholder('w_3') * build_vehicle_stay_rule(x) + \
  pyqubo.Placeholder('w_4') * build_location_visit_rule(x)

feed_dict = {'w_1': 1000,
             'w_2': 1000,
             'w_3': 1000,
             'w_4': 1000}
model = H.compile()
qubo, constant = model.to_qubo(feed_dict=feed_dict)

4.OpenJij求解QUBO目标变量

OpenJij（GitHub链接）是使用普通计算机提供SQA（Simulated Quantum Annealing）API来求解，经常用来搭配OpenJij使用。

sampler = SQASampler(trotter=20, num_reads=10)
response = sampler.sample_qubo(qubo)

5.输出求解结果路径

def extract_samples(response) -> (list, list):
  solutions = []
  energies = []
  
  for record in response.record:
    sol, num_occ = record[0], record[2]
    solution, broken, energy = model.decode_solution(dict(zip(response.variables, sol)), vartype='BINARY', feed_dict=feed_dict)
    if len(broken) == 0:
      solutions += [solution] * num_occ
      energies += [energy] * num_occ
  
  return solutions, energies

solutions, energies = extract_samples(response)

def vehicle_movement(solution: list) -> list:
  vehicles = []

  for v in range(V):
    solution_sorted = sorted(solution['x'][v].items(), key=lambda x:x[0])
    s = [i[1] for i in solution_sorted]
    df = pd.DataFrame(s).astype(int)
    df.columns = [chr(l) for l in range(65, 65+L)]
    vehicles.append(df)
  
  return vehicles
  
best_solution = solutions[energies.index(min(energies))]
best_vehicles = vehicle_movement(best_solution)

def highlight_positive(val: int) -> str:
  if val == 1:
    return 'color: {}; font-weight: bold'.format('red')
  else:
    return 'color: {}'.format('gray')

for v in range(V):
  display_html('vehicle-{}'.format(v+1) + best_vehicles[v].style.applymap(highlight_positive)._repr_html_() + '
', raw=True)
  

最后的输出结果如下：

总结

本文讲解以最短距离为优化目标的VRP的求解，约束条件也比较简单，真正的应用里，也有以最短时间为优化目标的，也有很多考率以下约束条件的：

• 优先送货服务
• 车辆载货量有限制
• 指定时间配送

至于建模以上类似的约束条件，下面两篇文章可以给大家一些启示：

• A Hybrid Solution Method for the Capacitated Vehicle Routing Problem Using a Quantum Annealer
  https://arxiv.org/abs/1811.07403

• Quantum Annealing of Vehicle Routing Problem with Time, State and Capacity https://arxiv.org/abs/1903.06322

下一篇讲解，护士工作时间排班问题。