蓝桥杯Python-A组备战记录--day2(背包问题)

背包问题总结

01背包问题

将得到最优解的情况分为最后的两类，分别是选择第i件物品与不选择第i件物品，如果不选择了第i件物品那么问题就等价于在前i-1个物品中选取体积不超过j的最优价值即f(i-1,j)；如果选择了第i件物品那么问题就变成了取f(i-1,j),f(i,j-v[i])+w[i]的最大值问题。

化整为零，化零为整，最终求解了01背包问题。

Python模板如下

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])
print(goods)

# 初始化，先全部赋值为0，这样至少体积为0或者不选任何物品的时候是满足要求  
dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    for j in range(1,v+1):
        dp[i][j] = dp[i-1][j]  # 第i个物品不选
        if j>=goods[i-1][0]:# 判断背包容量是不是大于第i件物品的体积
            # 在选和不选的情况中选出最大值
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1][0]]+goods[i-1][1])


print(dp[-1][-1])

完全背包问题

将得到最优解的情况分为最后的两类，分别是选择一定数量的第i件物品与不选择第i件物品，如果不选择了第i件物品那么问题就等价于在前i-1个物品中选取体积不超过j的最优价值即f(i-1,j)；如果选择了第i件物品那么问题就变成了取f(i-1,j),f(i,j-kv[i])+kw[i]的最大值问题。通过化简最终得到f(i,j) = max(f(i-1,j),f(i,j-v[i])+w[i])。

化整为零，化零为整，最终求解了完全背包问题。

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

# 初始化，先全部赋值为0，这样至少体积为0或者不选任何物品的时候是满足要求
dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    for j in range(1,v+1):
        dp[i][j] = dp[i-1][j]  # 第i个物品不选
        if j>=goods[i-1][0]:# 判断背包容量是不是大于第i件物品的体积
            # 在选和不选的情况中选出最大值
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1][0]]+goods[i-1][1])
print(dp[n][v])