【读书笔记】莫比乌斯函数与莫比乌斯反演

一、莫比乌斯(Möbius)函数

　　对于每个正整数n(n ≥ 2)，设它的质因数分解式为：

　　

　　根据这个式子定义n的莫比乌斯函数为：

　　

　　也就是如果n有平方因子，则为0. 否则是-1的质因数个数次方。

　　举个简单的例子：6 = 2 × 3，所以；  9 = 3×3， 所以

 

　　【命题一】

　　对于正整数n有：

　　

　　也就是n>2时，所有n的约数对应函数值之和为0.

　　

　　证明：

　　n=1的时候是显然的。

　　n≥2时：

　　① 如果d中也含有平方因子，则其值为零。

　　② 设 ， 若d中不含平方因子，则必有.

　　所以有：

　　得证。

 

二、欧拉函数

　　欧拉函数φ(n)定义为，1~n中与n的最大公约数为1的数字的个数。例如 φ(5) = 4, φ(6) = 2

　　若p为质数，显然 φ(p) = p-1

　　若n=p^k， 则n的大于1的约数有p, 2p, 3p,...(p^k-1-2)p, (p^k-1-1)p共p^k-1个数。所以φ(n) = p^k-p^k-1

　　而且欧拉函数为积性函数(证明较为麻烦，略去)，即若m、n互质，有φ(m)φ(n) = φ(mn)

　　所以对于任意

　　

　　或者写成这种形式：

　　

　　

　　莫比乌斯函数和欧拉函数的关系：

　　

　　这个不是太难证明，自己在纸上演算一下就明白了。

 

三、莫比乌斯反演

　　若定义在正整数集上的两个函数，f(n)和g(n)满足对任意n有：

　　　　　　　　(1)

　　

　　则可以通过f来表示g：

　　　　　　(2)

　　反之，亦可以由关系(2)得到(1)

　　

　　证明：

　　由式(1)有：

　　

　　于是：

　　

　　对于确定的d'，d将取遍所有的因子，所以我们可以改变求和顺序：

　　

　　由上面的推导可知：只有当即n = d'时，等式右边才不为0。所以右边和式只剩下g(n)一项了。

　　

　　简单运用：

　　上面说到莫比乌斯函数和欧拉函数的关系，

　　变形为：

　　视f(n) = n,  g(n) = φ(n), 上式相当于反演公式中的(2)式

　　根据反演公式，可得到(1)式：