加速度积分得到速度的Omega算法

       在工程中，有时候很难直接测量机械设备部件的速度或位移，特别是在运动着的设备上。即使在一般的场景下可以布置速度传感器，但是有时候需要同时监测速度和加速度，为了节约成本，往往通过将加速度信号直接进行积分得到速度信号。

       将加速度信号积分得到速度信号有两种方法，一是直接在时域进行积分，这往往会产生趋势项，积分的结果需要进行去趋势处理。二是在频域进行积分，典型的频域积分算法是omega算法，这里做一下简单的介绍：

        如果我们已经获得了加速度信号x''(t) , 其傅里叶变换为X''(f), 那么有：

                                    

        记速度信号为x'(t),这是我们所要求的，设其傅里叶变换为X'(f), 则有：

                                     

        因为加速度可以由速度求导得到，所以他们之间的关系是：

                                        

        把速度的表达式带入上式，有：

                                       

        比较上式与第一个式子，可以得出：

                                              

        因为时域加速度信号是传感器获取到的，可以通过计算得到其频域表示，进而通过计算得到速度的频域表示，即为：

                                             

        因此再通过傅里叶逆变换就可以得到速度的时域波形。这里要注意的是，在计算速度的频域表示时，在f=0时刻，上述公式无法计算，因此直接令X'(0) = 0 + 0j ，这样得到的速度信号没有了直流值，因此无需去趋势就可以得到想要的速度波形。下面附上我在matlab上通过时域积分（最小二乘算法去趋势后）和频域积分方法得到的速度波形：

              

  可以看到，基本上是一致的。

注：源代码有偿获取。