采样定理的直观解释

在 傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系 这篇文章中，已经介绍了以下基本知识，建议在阅读本文之前掌握：

• 梳状函数的频谱图仍然是梳状函数
• 梳状函数与别的函数卷积的结果一定是周期信号

这里的梳状函数 ${\delta }_{T_s}(t)$ 就是一种常见的取样函数，因为梳状函数是由很多冲激函数叠加而成的，所以也具有冲激函数的取样性质，而且有多个“取样点”，这大概是为什么称之为取样函数的原因吧。

取样过程是将取样函数与信号 $f(t)$ 相乘，得到的结果大概是这样的：

如果把上图看做一个等式的话，分别对等号两边做傅里叶变换( 时域相乘对应频域卷积 )，则有：

上图中， ${\omega }_m$ 是信号 $f(t)$ 中最大的角频率成分， ${\omega }_s$ 是取样函数的角频率，从得到的结果来看，当 ${\omega }_s>2{\omega }_m$ 时，我们可以使用低通滤波器从 $F_s(j\omega )$ 中复原 $F(j\omega )$ , 否则就会发生频谱混叠， 从而无法恢复原信号。

通常把最低允许的取样频率 $f_s=2f_m$ 称为奈奎斯特频率，把最大允许的取样间隔 $T_s=1/(2f_m)$ 称为奈奎斯特间隔。

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