【数据去噪】SG-多项式平滑算法
文章目录
- 一、简介
- 二、原理
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- 5点3次多项式平滑
- 三、代码
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- 1. 3点线性平滑
- 2. 5点线性平滑
- 3. 5点2次线性平滑
- 4. 5点3次线性平滑
- 5. 7点线性平滑
- 6. 7点2次线性平滑
一、简介
在处理工业数据的时候，工业数据有数据颗粒细，噪声大，量大，随着测量点的增加，数据维度高，复杂性高，而且关联性强，不过这个关联性是相对的，因为有时候数据噪声较大，显示不出来这种关联性。
最近了解的五点三次平滑，因为工作中遇到了用 五点三次平滑算法 平滑 车道线模型检测出的 车道线的点集，去除噪声点，方便后处理里拟合车道线方程。
引用文献的解释:
“一般来说，在数据采集系统中采集到的数据往往叠加有噪声。
噪声分为两种，一类为周期性的，一类为不规则的。前者代表为50 Hz 的工频干扰，后者代表为随机信号。”
“由于随机干扰的存在，使得随机信号绘成的曲线多呈折线状，这就表明采样数据中高频成分比较丰富。为了消除或减弱干扰的影响，提高曲线光滑度，需对采样数据进行平滑处理。
常用的平滑处理方法有: 平均法、样条函数法和五点三次平滑法。
- 平均法相对简单，滤波效果也差;
- 样条函数法利用样条插值逼近采样点的方法来实现平滑，算法多样，效果较好，但是，使用该方法计算相对复杂，平滑幅度控制较差;
- 五点三次平滑法利用多项式最小二乘逼近来对采样点实行平滑滤波，算法简单，效果较好。”
二、原理
把光谱一段区间的等波长间隔的5个点记为X集合，多项式平滑就是利用在波长点为Xm-2,Xm-1,Xm,Xm+1,Xm+2的数据的多项式拟合值来取代Xm,，然后依次移动，直到把光谱遍历完。
5点3次多项式平滑
设已知n个等距点，上的观测(或实验)数据为
x0＜x1＜…＜xn－1，
则可以在每个数据点的前后各取两个相邻的点，用三次多项式
Y=a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
进行逼近。
根据最小二乘原理确定出系数a0，a1，a2，a3，最后可得到五点三次平滑公式如下：
该公式要求数据点数n≥5，当数据点数多于5时，为对称考虑，除在两端分别用公式(4-1),(4-2)和(4-4),(4-5)外，其余都用公式(4-3)进行平滑，这就相当在每个子区间上用不同的三次最小二乘多项式进行平滑。
三、代码
1. 3点线性平滑
//3点线性平滑
int LinearSmooth3(double* input, long size) {
double *output = new double[size];
long i(0);
if (size < 3)
{
for (i = 0; i <= size - 1; i++)
{
output[i] = input[i];
}
}
else
{
output[0] = (5.0 * input[0] + 2.0 * input[1] - input[2]) / 6.0;
for (i = 1; i <= size - 2; i++)
{
output[i] = (input[i - 1] + input[i] + input[i + 1]) / 3.0;
}
output[size - 1] = (5.0 * input[size - 1] + 2.0 * input[size - 2] - input[size - 3]) / 6.0;
}
for (i = 0; i < size; i++)
{
input[i] = output[i];
}
delete[] output;
return 0;
}
2. 5点线性平滑
//5点线性平滑
int LinearSmooth5(double* input, long size) {
double *output = new double[size];
long i(0);
if (size < 5)
{
for (i = 0; i <= size - 1; i++)
{
output[i] = input[i];
}
}
else
{
output[0] = (3.0 * input[0] + 2.0 * input[1] + input[2] - input[4]) / 5.0;
output[1] = (4.0 * input[0] + 3.0 * input[1] + 2 * input[2] + input[3]) / 10.0;
for (i = 2; i <= size - 3; i++)
{
output[i] = (input[i - 2] + input[i - 1] + input[i] + input[i + 1] + input[i + 2]) / 5.0;
}
output[size - 2] = (4.0 * input[size - 1] + 3.0 * input[size - 2] + 2 * input[size - 3] + input[size - 4]) / 10.0;
output[size - 1] = (3.0 * input[size - 1] + 2.0 * input[size - 2] + input[size - 3] - input[size - 5]) / 5.0;
}
for (i = 0; i < size; i++)
{
input[i] = output[i];
}
delete[] output;
return 0;
}
3. 5点2次线性平滑
//5点二次线性平滑
int LinearSmooth52(double* input, long size) {
double *output = new double[size];
long i(0);
if (size < 5)
{
for (i = 0; i <= size - 1; i++)
{
output[i] = input[i];
}
}
else
{
output[0] = (31.0 * input[0] + 9.0 * input[1] - 3.0 * input[2] - 5.0 * input[3] + 3.0 * input[4]) / 35.0;
output[1] = (9.0 * input[0] + 13.0 * input[1] + 12 * input[2] + 6.0 * input[3] - 5.0 *input[4]) / 35.0;
for (i = 2; i <= size - 3; i++)
{
output[i] = (-3.0 * (input[i - 2] + input[i + 2]) +
12.0 * (input[i - 1] + input[i + 1]) + 17 * input[i]) / 35.0;
}
output[size - 2] = (9.0 * input[size - 1] + 13.0 * input[size - 2] + 12.0 * input[size - 3] + 6.0 * input[size - 4] - 5.0 * input[size - 5]) / 35.0;
output[size - 1] = (31.0 * input[size - 1] + 9.0 * input[size - 2] - 3.0 * input[size - 3] - 5.0 * input[size - 4] + 3.0 * input[size - 5]) / 35.0;
}
for (i = 0; i < size; i++)
{
input[i] = output[i];
}
delete[] output;
return 0;
}
4. 5点3次线性平滑
//5点三次线性平滑
int LinearSmooth53(double* input, long size) {
double *output = new double[size];
long i(0);
if (size < 5)
{
for (i = 0; i <= size - 1; i++)
output[i] = input[i];
}
else
{
output[0] = (69.0 * input[0] + 4.0 * input[1] - 6.0 * input[2] + 4.0 * input[3] - input[4]) / 70.0;
output[1] = (2.0 * input[0] + 27.0 * input[1] + 12.0 * input[2] - 8.0 * input[3] + 2.0 * input[4]) / 35.0;
for (i = 2; i <= size - 3; i++)
{
output[i] = (-3.0 * (input[i - 2] + input[i + 2]) + 12.0 * (input[i - 1] + input[i + 1]) + 17.0 * input[i]) / 35.0;
}
output[size - 2] = (2.0 * input[size - 5] - 8.0 * input[size - 4] + 12.0 * input[size - 3] + 27.0 * input[size - 2] + 2.0 * input[size - 1]) / 35.0;
output[size - 1] = (-input[size - 5] + 4.0 * input[size - 4] - 6.0 * input[size - 3] + 4.0 * input[size - 2] + 69.0 * input[size - 1]) / 70.0;
}
for (i = 0; i < size; i++)
{
input[i] = output[i];
}
delete[] output;
return 0;
}
5. 7点线性平滑
//7点线性平滑
int LinearSmooth7(double* input, long size) {
double *output = new double[size];
long i(0);
if (size < 7)
{
for (i = 0; i <= size - 1; i++)
{
output[i] = input[i];
}
}
else
{
output[0] = (13.0 * input[0] + 10.0 * input[1] + 7.0 * input[2] + 4.0 * input[3] +
input[4] - 2.0 * input[5] - 5.0 * input[6]) / 28.0;
output[1] = (5.0 * input[0] + 4.0 * input[1] + 3 * input[2] + 2 * input[3] +
input[4] - input[6]) / 14.0;
output[2] = (7.0 * input[0] + 6.0 * input[1] + 5.0 * input[2] + 4.0 * input[3] +
3.0 * input[4] + 2.0 * input[5] + input[6]) / 28.0;
for (i = 3; i <= size - 4; i++)
{
output[i] = (input[i - 3] + input[i - 2] + input[i - 1] + input[i] + input[i + 1] + input[i + 2] + input[i + 3]) / 7.0;
}
output[size - 3] = (7.0 * input[size - 1] + 6.0 * input[size - 2] + 5.0 * input[size - 3] +
4.0 * input[size - 4] + 3.0 * input[size - 5] + 2.0 * input[size - 6] + input[size - 7]) / 28.0;
output[size - 2] = (5.0 * input[size - 1] + 4.0 * input[size - 2] + 3.0 * input[size - 3] +
2.0 * input[size - 4] + input[size - 5] - input[size - 7]) / 14.0;
output[size - 1] = (13.0 * input[size - 1] + 10.0 * input[size - 2] + 7.0 * input[size - 3] +
4 * input[size - 4] + input[size - 5] - 2 * input[size - 6] - 5 * input[size - 7]) / 28.0;
}
for (i = 0; i < size; i++)
{
input[i] = output[i];
}
delete[] output;
return 0;
}
6. 7点2次线性平滑
//7点二次线性平滑
int LinearSmooth72(double* input, long size) {
double *output = new double[size];
long i(0);
if (size < 7)
{
for (i = 0; i <= size - 1; i++)
{
output[i] = input[i];
}
}
else
{
output[0] = (32.0 * input[0] + 15.0 * input[1] + 3.0 * input[2] - 4.0 * input[3] -
6.0 * input[4] - 3.0 * input[5] + 5.0 * input[6]) / 42.0;
output[1] = (5.0 * input[0] + 4.0 * input[1] + 3.0 * input[2] + 2.0 * input[3] +
input[4] - input[6]) / 14.0;
output[2] = (1.0 * input[0] + 3.0 * input[1] + 4.0 * input[2] + 4.0 * input[3] +
3.0 * input[4] + 1.0 * input[5] - 2.0 * input[6]) / 14.0;
for (i = 3; i <= size - 4; i++)
{
output[i] = (-2.0 * (input[i - 3] + input[i + 3]) +
3.0 * (input[i - 2] + input[i + 2]) +
6.0 * (input[i - 1] + input[i + 1]) + 7.0 * input[i]) / 21.0;
}
output[size - 3] = (1.0 * input[size - 1] + 3.0 * input[size - 2] + 4.0 * input[size - 3] +
4.0 * input[size - 4] + 3.0 * input[size - 5] + 1.0 * input[size - 6] - 2.0 * input[size - 7]) / 14.0;
output[size - 2] = (5.0 * input[size - 1] + 4.0 * input[size - 2] + 3.0 * input[size - 3] +
2.0 * input[size - 4] + input[size - 5] - input[size - 7]) / 14.0;
output[size - 1] = (32.0 * input[size - 1] + 15.0 * input[size - 2] + 3.0 * input[size - 3] -
4.0 * input[size - 4] - 6.0 * input[size - 5] - 3.0 * input[size - 6] + 5.0 * input[size - 7]) / 42.0;
}
for (i = 0; i < size; i++)
{
input[i] = output[i];
}
delete[] output;
return 0;
}