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有关函数与极限的练习题（一）

1.\lim_{x->0}{\frac{\sqrt {1+tanx}-\sqrt {1+sinx}}{x\sqrt {1+sin^2x}-x}}​​​​​​​

看到这个式子首先看能不能进行等价无穷小的替换。发现这些式子都是加减的形式，所有不能直接进行替换。

但我们看到分母，将x提出来后得到x(\sqrt{1+sin^2x}-1)括号里面还可以化成(1+sin^2x)^\frac{1}{2}-1,发现此时可以进行无穷小替换。(1+sin^2x)^\frac{1}{2}-1替换后得到\frac{1}{2}sin^2x。再对sin^2x进行替换，最后得到分母为\frac{1}{2}x^3。

接下来处理分子，先尝试通过有理化把根号去掉。通过先乘后除于\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}得到\frac{tanx-sinx}{\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}}。再将分子化为\frac{sinx}{cosx}-sinx，将sinx提出来再通分得到sinx(\frac{1-cosx}{cosx})。1-cosx进行无穷小替换后得到\frac{1}{2}x^2。由于当x趋向于0时，分母不为0，那么其极限值我们直接将0代入即可。再对sinx进行无穷小替换后得到\frac{1}{2}x^3。对于\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}

同理，代入得到2。

最后我们得到式子\frac{\frac{\frac{1}{2}x^3}{2}}{\frac{1}{2}x^3}，化简得到结果\frac{1}{2}。

2.\lim_{x->0}{\frac{e^{3x}-e^{2x}-e^x+1}{^3\sqrt{(1-x)(1+x)}-1}}

 看到这个分母和分子，不用想，肯定先化简先。发现分母可以化为(1+(-x^2))^\frac{1}{3}-1，进行无穷小替换后得到-\frac{1}{3}x^2。

再来看分子，先把e^x看为x，得到x^3-x^2-x+1。如果你还记得公式x^3-x^2-x+1=(x+1)(x-1)^2那就直接把它化为(e^x+1)(e^x-1)^2即可。无穷小替换再代入0后得到2x^2。

最后得到式子\frac{2x^2}{-\frac{1}{3}x^2}，结果为-6.

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