n阶差分与n阶求和的关系

1. 差分的定义

定义 $f(x)$的差分（后向差分）$\nabla f(x)$

$$\nabla f(x)=f(x)-f(x-1)\text{\hspace{1em}(1)}$$
则有公式$(2)$：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }^{2}f(x)& =\nabla (\nabla f(x))\\ & =\nabla (f(x)-f(x-1))\\ & =f(x)-f(x-1)-[f(x-1)-f(x-2)]\\ & =f(x)-2f(x-1)+f(x-2)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

因此称${\nabla }^{n}f(x)$为$f(x)$的$n$阶差分，并且${\nabla }^{0}f(x)=f(x)$。

2. 差分与级数部分和的联系

首先有个比较明显的关系：
${\nabla }^{n+1}f(x)={\nabla }^{n}f(x)-{\nabla }^{n}f(x-1)$

再结合级数部分和的公式:

$f(x)={\sum }_{a=1}^x[f(a)-f(a-1)]+f(0)$

就可以得到：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }^{n}f(x)& =\sum _{a=1}^x\left[{\nabla }^{n}f(a)-{\nabla }^{n}f(a-1)\right]+{\nabla }^{n}f(0)\\ & =\sum _{a=1}^x{\nabla }^{n+1}f(a)+{\nabla }^{n}f(0)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

用上面的式子不断递归，并记$c_n={\nabla }^{n}f(0)$

$$\begin{array}{rl}{\nabla }^{n}f(x)& =\left[\sum _{a=1}^x{\nabla }^{n+1}f(a)\right]+c_n\\ & =\left[\sum _{a=1}^x\left[\sum _{b=1}^a{\nabla }^{n+2}f(b)\right]+c_{n+1}\right]+c_n\\ & =\left[\sum _{a=1}^x\left[\sum _{b=1}^a\left[\sum _{c=1}^b\left[\sum _{d=1}^c{\nabla }^{n+4}f(d)\right]+c_{n+3}\right]+c_{n+2}\right]+c_{n+1}\right]+c_n\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

然后我们总结下上面发生的关系，并且把后面的常数尾巴提炼出来，写成多项式 ：

${\nabla }^{n}f(x)=[\underset{\mathrm{s}\uparrow }{\sum _{a=1}^x\sum _{b=1}^a\sum _{c=1}^b\cdots \sum _{q=1}^m}{\nabla }^{n+s}f(q)]+c(x)$

令$n=-s$
$$\begin{array}{rl}{\nabla }^{-s}f(x)& =[\underset{\mathrm{s}\uparrow }{\sum _{a=1}^x\sum _{b=1}^a\sum _{c=1}^b\cdots \sum _{q=1}^m}{\nabla }^{0}f(q)]+c(x)\\ & =[\underset{\mathrm{s}\uparrow }{\sum _{a=1}^x\sum _{b=1}^a\sum _{c=1}^b\cdots \sum _{q=1}^m}f(q)]+c(x)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

可以看出负数阶差分相当于正数阶求和，求和是差分的逆运算。