高等数学笔记-乐经良老师-第四章-微分中值定理和导数的应用-第二节-洛必达法则

高等数学笔记-乐经良

第四章 微分中值定理和导数的应用

第二节 洛必达法则

一、定理（$\frac{0}{0}$​型）

• 定理内容

  • (1) $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$ ​​​

    (2) $f(x),g(x)$​​​ 在 $a$​​​ 点邻域可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$ ​​​

    (3) $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A(A$​​​ 可以为 $\infty )$ ​​​

  • $\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=A$ ​

  • 即 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$​ （在右端有意义的情况下成立）

• 说明

  • $x\to a^{+}$​（或 $a^{-}$​，$\infty$​​等）法则仍适用
  • 应用法则时勿忘记等价无穷小替换
  • $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 不存在不意味着 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 不存在（可能不满足定理条件①②）
  • 洛必达法则是充分而非必要的

• 推论

  • 在定理的条件中 $x\to a$ 改为 $x\to \infty$，有 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

二、定理（$\frac{\forall }{\infty }/\frac{\infty }{\infty }$型）

• 定理内容

  • (1) $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\infty$​

    (2) $f(x),g(x)$​ 在 $a$​ 的邻域可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$​

    (3) $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A(A$​ 可以为 $\infty )$​

  • $\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=A$​

• 说明

  • $x\to a^{+}$（或 $a^{-}$，$\infty$​等）法则仍适用
  • 其它型极限（$0\cdot \infty ,\infty \pm \infty ,0^0,1^{\infty },{\infty }^0$​ 等型）化为 $\frac{0}{0}$​ 或 $\frac{\infty }{\infty }$​​ 处理
  • 对数列极限用海涅定理
  • 先用等价变化、变量代换、四则运算、恒等变形等化简，再用法则
  • 已知极限求参数时慎用，因为法则充分而非必要，所以会缩小参数范围